Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Sử dụng kết quả sau: Với \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n^5-n\vdots 30\)
Chứng minh:
Ta có: \(n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Xét thấy \(n-1,n\) là hai số nguyên liên tiếp nên \(n(n-1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 2(1)\)
Xét thấy \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên
\(n(n-1)(n+1)\vdots 3\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 3(2)\)
Xét modulo của 5 cho $n$ :
+) \(n=5k\Rightarrow n^5-n=(5k)^2-(5k)\vdots 5\)
+) \(n=5k+1\Rightarrow n-1=5k\vdots 5\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+2\Rightarrow n^2+1=(5k+2)^2+1=5(5k^2+4k+1)\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+3\Rightarrow n^2+1=(5k+3)^2+1=5(5k^2+6k+2)\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
+) \(n=5k+4\Rightarrow n+1=5k+5\vdots 5\)
\(\Rightarrow n^5-n\vdots 5\)
Tóm lại trong mọi TH thì \(n^5-n\vdots 5(3)\)
Từ (1);(2);(3) và (2,3,5) là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:
\(n^5-n\vdots (2.3.5=30)\)
--------------------------------
Quay trở tại bài toán. Áp dụng kết quả trên:
\(M-N=(a_1^5-a_1)+(a_2^5-a_2)+...+(a_{2017}^5-a_{2017})\vdots 30\)
Mà \(N\vdots 30\Rightarrow M\vdots 30\)
Vậy ta có đpcm.
a) Đặt \(d=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=dx_1\\a_2=dx_2\\...\\a_n=dx_n\end{matrix}\right.\) (với \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\)).
Ta có \(A_i=\dfrac{A}{a_i}=\dfrac{d^nx_1x_2...x_n}{dx_i}=d^{n-1}\dfrac{x_1x_2...x_n}{x_i}=d^{n-1}B_i\forall i\in\overline{1,n}\).
Từ đó \(\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d^{n-1}\left[B_1,B_2,...,B_n\right]\).
Mặt khác do \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\Rightarrow\left[B_1,B_2,...B_n\right]=x_1x_2...x_n\).
Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d.d^{n-1}x_1x_2...x_n=d^nx_1x_2...x_n=A\).
@Akai Haruma, @Nguyễn Việt Lâm, @Nguyễn Văn Đạt, @Lê Thanh Nhàn, @Vũ Huy Hoàng, @Trần Thanh Phương, @@Nk>↑@,@buithianhtho, @Nguyễn Thị Ngọc Thơ
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
minh ko biet xin loi ban nha
Câu 1, \(n^6+206⋮n^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(n^2\right)^3+8+198⋮n^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(n^2+2\right)\left(n^4-2n^2+4\right)+198⋮n^2+2\)
\(\Leftrightarrow198⋮n^2+2\)
Vì n là số nguyên dương \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^2+2>2\\n^2+2\in N\end{cases}}\)
làm nốt nha -,- nhiều trường hợp quá -,-
Câu 2 , Xét hiệu \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)
Áp dụng ta có \(a_1^5-a_1⋮5\)
\(a_2^5-a_2⋮5\)
.............\
\(a_n^5-a_n⋮5\)
\(\Rightarrow\left(a_1^5+a_2^5+...+a_n^5\right)-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)⋮5\)
Mà \(a_1+a_2+...+a_n⋮5\Rightarrow a_1^5+a_2^5+...+a_n^5⋮5\left(Đpcm\right)\)
Cảm ơn nha =))