K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 3 2019

1/Vì x,y,z là số chính phương nên x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 và x,y,z chia 4 dư 0 hoặc 1 (tự CM) 

TH1: x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1

Có: (x-y)(y-z)(z-x)

Vì x,y,z chia 3 dư 0 hoặc 1 nên có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Suy ra: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 3 (1)

Tương tự: (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 4 (2)

Từ (1) và (2)

Vậy (x-y)(y-z)(z-x) chia hết cho 12

2/ Có: 

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-n\right)\left(m+n\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)

Do đó: để CM m-n và 5m+5n+1 là scp thì chúng phải là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là \(ƯCLN\left(m-n;5m+5n+1\right)\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow m^2⋮d^2}\Leftrightarrow m⋮d\)

Suy ra: \(n⋮d\)

Hay: \(5m+5n⋮d\)

Mà \(5m+5n+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vì thế m-n và 5m+5n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Vậy KL.....

3 tháng 4 2016

Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:

\("\) Nếu  \(a,b\)  là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và  \(a.b\)  là một số chính phương thì \(a\)  và  \(b\) đều là các số chính phương  \("\)

Ta có:

\(4m^2+m=5n^2+n\)

\(\Leftrightarrow\)  \(4m^2+m-5n^2-n=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Gọi  \(d\)  là ước chung lớn nhất của  \(m-n\)  và   \(5m+5n+1\)  \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:

\(m-n\)  chia hết cho  \(d\)   \(\Rightarrow\)  \(5\left(m-n\right)\)  chia hết cho  \(d\)

\(5m+5n+1\)  chia hết cho  \(d\)

nên   \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\)  chia hết cho  \(d\)

\(\Leftrightarrow\)   \(10m+1\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(1\right)\)

Mặt khác, từ  \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được:  \(m^2\)  chia hết cho  \(d^2\)

Do đó,  \(m\)  chia hết cho  \(d\)

  \(\Rightarrow\)   \(10m\)  chia hết cho  \(d\)   \(\left(2\right)\)

Từ  \(\left(1\right)\)  và  \(\left(2\right)\), ta có  \(1\)  chia hết cho  \(d\)  \(\Rightarrow\)  \(d=1\)

Do đó,  \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau  

Kết hợp với  \(\left(\text{*}\right)\)  và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm

Vậy,   \(m-n\)  và  \(5m+5n+1\)  đều là các số chính phương.

30 tháng 10 2021

B3 : t chỉ m r á :3
B4 : 
Ta có :
C= 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( y + z ) + y2x2
   = 4x ( x + y + z ) ( x + y ) ( x + z ) + y2x2
   = 4 ( x2 + xy + xz ) ( x+ xy + xz + yz ) + y2x2
Đặt a = x+ xy + xz và b= yz , ta có :
  ⇒ C = 4a( a + b ) + b2
          = b2 + 4ab + 4a2
          = ( b + a )2
  ⇒ C là số chính phương 
Chúc mừng m đã ghi xong bài , nhớ tick cho t nhoa bff!yeu
            

21 tháng 7 2018

bài của   Never_NNL   sai nhé:

  \(x+y=m+n\)   \(\Rightarrow\)\(n=x+y-m\)

Ta có:    \(A=x^2+y^2+m^2+n^2\)

\(=x^2+y^2+m^2+\left(x+y-m\right)^2\)

\(=2x^2+2y^2+2m^2+2xy-2mx-2my\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2mx+m^2\right)+\left(y^2-2my+m^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-m\right)^2+\left(y-m\right)^2\)

Vậy A là tổng của 3 số chính phương

21 tháng 7 2018

x + y = m + n

m = x + y - n

x^2 + y^2 + ( x + y - n )^2 + n^2 

= x^2 + y^2 + ( x^2 + xy- xn ) + ( xy + y^2 - ny ) - [ ( - xn ) + ( - ny ) + n^2 ] + n^2 

= x^2 + y^2 + x^2 + xy - xn + xy + y^2 - ny + xn + ny - n^2 + n^2 

= 2x^2 + 2y^2 + 2xy 

= x^2 + y^2 + ( x^2 + y^2 + 2xy )

= x^2 + y^2 + ( x + y )^2 ( dpcm )

27 tháng 4 2018

bạn thi hsg ak bài nay dễ mak

có 4m^2+m=5n^2+n

<=>m-n+5m^2-5n^2=m^2

<=>(m-n)(5m+5n+1)=m^2         (1)

gọi ƯCLN(m-n;5m+5n+1)=d ta c/m d=1

có m-n chia hết d; m,n là các số tự nhiên

<=>5m-5n chia hết d

và có 5m+5n+1 chia hết d

=>10m+1 chia hết d                          (2)

(1)=> m^2 chia hết cho d 

=>m chia hết d (m là số tự nhiên)

=>10m chia hết cho d                        (3)

từ (2),(3)=>1 chia hết cho d

=>d =1                                              (4)

từ (1),(4)=>đpcm.

bài này phải áp dụng kiến thức lớp 6 vào .

27 tháng 4 2018

mik nhầm chút

(1)=> m^2 chia hết d^2

13 tháng 8 2017

\(C=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4x\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)+y^2z^2\left(1\right)\)

Đặt \(a=x^2+xy+xz\)và \(b=yz\)ta có:

\(\left(1\right)\Rightarrow C=4a\left(a+b\right)+b^2=b^2+4ab+4a^2=\left(b+2a\right)^2\)

Vậy C là một số chính phương.