Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gỉa sử ba số a,b,c là ba số bất kì được chọn mà a+b,b+c,a+c đều chia hết cho 28.
Xét hai trường hợp:
TH1:
Trong ba số a,b,c có ít nhất một số chia hết cho 28. Khi đó hai số kia cũng phải chia hết cho 28. Do đó cả ba số chia hết cho 28.
Ta có 2017:28 = 72 (dư 1).
Như vậy nếu ta chọn trong dãy các số 28, 28.2; 28.3;....;28.72 thì ta chọn được nhiều nhất 72 số.
TH2:
Trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 28.
Gọi số dư của 3 số khi chia cho 28 là x, y, z.
Do a + b; b + c; c + a chia hết cho 28 nên x + y = y + z = z + x = 28. Suy ra x = y = z = 14.
Do đó mỗi số a, b, c chia 28 dư 14.
Ta có 2017 : 14 = 144 (dư 1)
Như vậy nếu ta chọn trong dãy các số:14; 14.3;14. 5;......; 14.143.
Thì ta chọn nhiều nhất 73 số.
So sánh hai trường hợp ta chọn được nhiều nhất 73 số thỏa mãn bài toán.
Do tổng của n số gấp đôi tổng của các số còn lại nên tổng đó bằng 2/3 tổng các số từ 1 đến 2015.
Ta tính tổng đó: \(S=\frac{2}{3}\left(\frac{\left(2015+1\right).2015}{2}\right)=1354080.\)
Gọi n số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(1\le a_1< a_2< ...< a_n\le2015.\)
Ta thấy \(a_1\ge1;a_2\ge a_1+1=2;...;a_n\ge n.\)
Vậy thì để tồn tại nhiều số nhất thì ta chọn : \(a_1=1;a_2=2;...;a_{n-1}=n-1;a_n\)
Tính tổng (n -1) số đầu tiên: \(S_{n-1}=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\le1354080\)
Ta chọn n max thỏa mãn điều kiện bên trên. Vậy n = 1645.
Vậy n max là 1645 với dãy số:
\(\hept{\begin{cases}a_1=1;a_2=2;...;a_{1644}=1644\\a_{1645}=1354080-\frac{1645.1644}{2}=1890\end{cases}}\)
Tương tự: \(a_n\le2015;a_{n-1}\le a_n-1=2014;...\)
Để chọn được n min thì \(\hept{\begin{cases}a_n=2015;a_{n-1}=2014;...;a_2=2015-n+2.\\a_1\end{cases}}\)
Tổng n - 1 số là : \(S_{n-1}=\frac{\left(2015+2015-n+2\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\left(4032-n\right)\left(n-1\right)}{2}< 1354080\)
Vậy n min = 852.
Khi đó \(\hept{\begin{cases}a_2=1165;a_3=1166;...;a_{852}=2015\\a_1=1354080-\frac{851.3180}{2}=990\end{cases}}\)
Vậy n max = 1645 và n min = 852.
Điểm mấu chốt là nhận ra \(\hept{\begin{cases}1\le a_1;2\le a_2;...\\2015\ge a_n;2014\ge a_{n-1};...\end{cases}}\)