PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NM
0
NV
3 tháng 1 2016
Câu này lớp 7 tớ có làm. Cũng như cái mà gọi là áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau và tỉ lệ thức. mình tính ra dc a, b. c rồi.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 12 2020
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc=-ab-ac\\ab=-bc-ac\\ac=-ab-bc\end{matrix}\right.\)
\(M=\dfrac{1}{a^2+bc-ab-ac}+\dfrac{1}{b^2+ac-ab-bc}+\dfrac{1}{c^2+ab-bc-ac}\)
\(=\dfrac{1}{a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)}+\dfrac{1}{b\left(b-c\right)-a\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{c\left(c-a\right)-b\left(c-a\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{1}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\dfrac{b-c-\left(a-c\right)+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
Ta chứng minh 1 bđt phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (với a;b;c>0)
Thật vậy,ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mà: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\left(Cauchy\right)\)nên ta có đpcm
Vậy bđt đc chứng minh
Áp dụng:
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dấu bằng khi a=b=c=1/3