DT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 5 2021
Ta có:
sigma \(\frac{ab}{3a+4b+5c}=\) sigma \(\frac{2ab}{5\left(a+b+2c\right)+\left(a+3b\right)}\le\frac{2}{36}\left(sigma\frac{5ab}{a+b+2c}+sigma\frac{ab}{a+3b}\right)\)
Ta đi chứng minh: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{9}{4}\)
có: \(sigma\frac{ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(sigma\frac{ab}{c+a}+sigma\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
BĐT trên đúng nếu: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{9}{4}\)
Ta thấy: \(sigma\frac{ab}{a+3b}\le\frac{1}{16}\left(sigma\frac{ab}{a}+sigma\frac{3ab}{b}\right)=\frac{1}{16}\)( sigma \(b+sigma3a\)) \(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow sigma\frac{ab}{3a+4b+5c}\le\frac{1}{18}\left(5.\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\right)=\frac{3}{4}\)(1)
MÀ: \(\frac{1}{\sqrt{ab\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}}=\frac{2}{2\sqrt{\left(ab+2bc\right)\left(ab+2ca\right)}}\ge\frac{2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{3}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{9^2}=\frac{1}{27}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le\frac{3}{4}-\frac{1}{27}=\frac{77}{108}\)
Vậy GTLN của biểu thức T là 77/108 <=> a=b=c=3
TN
5 tháng 12 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{3bc}+\frac{b}{2ca}+\frac{\sqrt{6}c^2}{6}\ge\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{3b}{2ca}+\frac{3c}{ab}+\frac{\sqrt{6}a^2}{6}\ge\frac{3\sqrt{6}}{2}\)
\(\frac{2a}{3bc}+\frac{2c}{ab}+\frac{\sqrt{6}b^2}{6}\ge\sqrt{6}\)
Cộng theo vế ta có: \(P\ge2\sqrt{6}\).
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=\sqrt{2}\\c=1\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 11 2019
\(\left(\frac{47}{12}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}a+\frac{1}{2}.2b+\frac{1}{\sqrt{5}}.\sqrt{5}c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{47}{12}\right)^2\le\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)\left(3a^2+4b^2+5c^2\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(\frac{47}{12}\right)^2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}=\frac{235}{12}\)
\(A_{min}=\frac{235}{12}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=\frac{47}{12}\\3a=4b=5c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{5}{3}\\b=\frac{5}{4}\\c=1\end{matrix}\right.\)
T
22 tháng 11 2019
Với dự đoán P đạt Min tại \(a=b=c=\frac{5}{3}\Rightarrow P=\frac{9}{20}\). Nên ta chứng minh \(P\ge\frac{9}{20}\).Thật vậy:\(P=\Sigma\frac{a}{ab+5c}=\Sigma\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left[\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{3}\right]^3}=\frac{9}{20}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{3}\)
Vậy..
với a,b,c dương
\(P+12=\left(\frac{3a}{b+c}+3\right)+\left(\frac{4b}{a+c}+4\right)+\left(\frac{5c}{a+b}+5\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{5}{a+b}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right).\frac{\left(\sqrt{3}+2+\sqrt{5}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(\sqrt{3}+2+\sqrt{5}\right)^2}{2}\)