![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Gọi biểu thức là $A$. Đặt $n=2k+1$ với $k$ nguyên.
$A=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^4-1)(n^8-1)$
$=(n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)$
$=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)$
$=(2k)^2(2k+2)^2(4k^2+4k+2)^2(n^4+1)$
$=64[k(k+1)]^2(2k^2+2k+1)^2(n^4+1)$
Vì $k(k+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp nên hiển nhiên chia hết cho 2
$\Rightarrow [k(k+1)]^2\vdots 4$
Với $n$ lẻ thì hiển nhiên $n^4+1\vdots 2$
$\Rightarrow A\vdots 64.4.2=512$ (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
P.s cái đề b/s thêm n nguyên
Xét \(n\left(n^4-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right).\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Do (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 40
Lại có n lẻ => (n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8
=>5(n-1)n(n+1) chia hết cho 40
\(\Rightarrow n\left(n^4-1\right)⋮40\Leftrightarrow n^4-1⋮40\)(Vì n lẻ, n không chia hết cho 5)
DO N KHÔNG CHIA HẾT CHO 5 MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 5 DƯ 0 , 1 , 4
=> n^2 CHIA 5 DƯ 1 HOẶC 4
=> n^4 CHIA 5 DƯ 1 => n^4 - 1 chia hết cho 5
DO N LÀ SỐ LẺ MÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHIA 8 DƯ 0,1 HOẶC 4
=> n^2 chia 5 dư 1 hoặc 4
=> n^4 chia 8 dư 1
=> n^4 chia hết cho 8
Mà 5 và 8 nguyên tố cùng nhau
=> n^4 - 1 chia hết cho 40
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1/ \(A=n^4-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Vì \(\left(n,3\right)=1\) nên \(n⋮̸3\) nên n chia 3 dư 1 hoặc dư 2
- Nếu n chia 3 dư 1 thì \(\left(n-1\right)⋮3\Rightarrow A⋮3\)
- Nếu n chia 3 dư 2 thì \(\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow A⋮3\)
Như vậy \(A⋮3\)
Lại có n lẻ nên n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮8\) (1)
Mặt khác n lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+1\right)⋮2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\right]⋮16\)
Hay \(A⋮16\)
Ta có \(A⋮3;A⋮16\), mà (3;16) = 1 nên \(A⋮48\)
2/ \(B=n^4-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
- Chứng minh \(B⋮16\) tương tự như ở câu 1
- Ta sẽ đi chứng minh \(B⋮5\)
+ Nếu n chia 5 dư 1 thì \(\left(n-1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)
+ Nếu n chia 5 dư 4 thì \(\left(n+1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)
+ Nếu n chia 5 dư 2 hoặc dư 3 thì \(\left(n^2+1\right)⋮5\Rightarrow B⋮5\)
Do đó \(B⋮5\)
Kết hợp với \(B⋮16\) ở trên suy ra \(B⋮80\)
4. \(D=n^8-n^4=n^4\left(n^4-1\right)=n^3\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
- Dễ thấy n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên \(D⋮3\)
- Chứng minh \(D⋮5\)
+ Nếu \(n⋮5\) thì \(D⋮5\)
+ Nếu n chia 5 dư 1;2;3;4 thì ... (tương tự câu 2)
- Chứng minh \(D⋮16\)
+ Nếu n chẵn thì \(n^4⋮16\Rightarrow D⋮16\)
+ Nếu n lẻ, cmtt câu 1
Ta có (16;3;5) = 1 nên \(D⋮\left(16.3.5\right)=240\)
3. \(C=n^6+n^4-2n^2=n^2\left(n^4+n^2-2\right)\)
\(=n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+2\right)=n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+2\right)\)
- Chứng minh \(C⋮8\)
+ Nếu n chẵn thì \(n^2⋮4\) và \(\left(n^2+2\right)⋮2\) \(\Rightarrow\left[n^2\left(n+2\right)\right]⋮8\) nên \(C⋮8\)
+ Nếu n lẻ thì n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp \(\Rightarrow\left[\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮8\Rightarrow C⋮8\)
- Chứng minh \(C⋮9\)
+ Dễ thấy \(\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]⋮3\) (1)
+ Ta sẽ chứng minh \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)
Nếu \(n⋮3\) thì \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)
Nếu n chia 3 dư 1 hoặc 2 thì \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3\)
Vậy \(\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮3,\forall n\in Z\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left[n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right].\left[n\left(n^2+2\right)\right]⋮\left(3.3\right)=9\)
Hay \(C⋮9\)
Ta có \(C⋮8\) và \(C⋮9\), mà (8;9) = 1 nên \(C⋮72\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) \(n^3-4n=n\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)
vì n chẵn nên đặt n=2k
\(=>\left(2k-2\right).2k.\left(2k+2\right)=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)
vì \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)là 3 số tn liên tiếp =>chia hết cho 2
=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16
\(n^3+4n=n^3-4n+8n\)
đặt n=2k
=>\(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)
mà \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)chia hết cho 16 nên \(8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)+16k\)chia hết cho 16
Ta có: n5−n=n(n4−1)=n(n−1)(n+1)(n2+1)
CM n5−n⋮3
Ta thấy n,n+1,n−1 là ba số nguyên liên tiếp nên chắc chắn tồn tại một số chia hết cho 3
⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇔n5−n⋮3(1)
CM n5−n⋮5
+) n≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5
+) n≡1(mod5)⇒n−1≡0(mod5)⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5
+) n≡2(mod5)⇒n2≡4(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)
⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5
+) n≡3(mod5)⇒n2≡9(mod5)⇒n2+1≡0(mod5)
⇒n5−n=n(n−1)(n+1)(n2+1)⋮5
+) n≡4(mod5)⇒n+1≡0(mod5)
⇒n5−n=n(n+1)(n−1)(n2+1)⋮5
Do đó, n5−n⋮5(2)
CM n5−n⋮16
Vì n lẻ nên đặt n=4k+1;4k+3 Khi đó:[n2=16k2+1+8kn2=16k2+9+24k⇒ n2≡1(mod8)
⇒n2−1⋮8
Mà n lẻ nên n2+1⋮2
Do đó n5−n=n(n2−1)(n2+1)⋮16(3)
Từ (1),(2),(3)⇒n5−n⋮(16.3.5=240) (đpcm)
Chúc bạn học tốt!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 2 gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a+2
ta có 2a(2a+2)=4a^2+4a=4a(a+1)
vì a và a+1 là hai số liên tiếp nên trong hai số này sẽ có ,ột số chia hết cho 2
Suy ra 4a(a+1)chia hết cho 8
Bài 3 n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)
=(n-3)(n^2-1)
=(n-3)(n-1)(n+1)
Do n lẻ nên ta thay n=2k+1ta được (2k-2)2k(2k+2)=2(k-1)2k2(k+1)
=8(k-1)k(k+1)
vì k-1,k,k+1laf ba số nguyên liên tiếp mà tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
8.6=48 Vậy n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 8 với n lẻ
Bài 4 n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^1-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n-2)(n+2)là tích của 5 số nguyên liên tiếp
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 trong đó có một số là bội của 4
một bội của 3 một bội của 5 do đó tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5=120