Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xét hiệu \(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\)
quy đồng làm nốt nha
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+2bc+c^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\c^2=a^2+2ab+b^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=-2bc\\a^2+c^2-b^2=-2ac\\a^2+b^2-c^2=-2ab\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
a) \(P=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{a^2+c^2-b^2}\) ( Sửa đề )
\(P=\frac{1}{\left(b+c\right)^2-2ab-a^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2-2ab-c^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2-2ac-b^2}\)
Vì a + b + c = 0
Nên a + b = -c
=> ( a + b )2 = (-c)2 = c2
Tương tự: ( b + c )2 = a2 và ( a + c )2 = b2
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2-2bc-a^2}+\frac{1}{c^2-2ab-c^2}+\frac{1}{b^2-2ac-b^2}\)
\(P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2ac}\)
\(P=\frac{a+b+c}{-2abc}=\frac{0}{-2abc}=0\)
Nếu không áp dụng BĐT thì chuyển vế cũng được nhưng hơi dài :
Mình thử làm thôi nhé :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}-\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2-2b^2-2a^2-2\left(ab\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{-\left(a^2+b^2+2a^2b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
....
Giải bất mà không được dùng bất ? Vô lý thế ??
Bài Đạt chưa làm hết,mình làm nốt nha !
Ta có: \(\frac{1+ab}{1+a^2}+\frac{1+ab}{1+b^2}=\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\)
mà \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+b^2}\)( Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\))
Mặt khác: \(a^2+b^2\ge2ab\)
=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{4}{2+2ab}=\frac{2}{1+ab}\)
=> \(\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\ge\left(1+ab\right)\left(\frac{2}{1+ab}\right)=2\)(đpcm)
Ta có a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 1 - 2ab
Ta có 4ab <= (a + b)2 = 1 <=> 1 - 2ab >= 1 - \(\frac{1}{2}\)= \(\frac{1}{2}\)
Vậy a2 + b2 >= \(\frac{1}{2}\)
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
Bạn cần biết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (nếu bạn chưa biết thì xét hiệu)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\)
\(\ge\frac{4}{1+a^2+1+b^2}\)
\(=\frac{4}{a^2+b^2+2}\)
\(\ge\frac{4}{2ab+2}=\frac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)