K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
RD
25 tháng 3 2019
Nên bổ sung thêm đk a,b không âm
\(a+4b\ge\frac{16ab}{1+4ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)
AM-GM:\(a+4b\ge4\sqrt{ab};1+4ab\ge4\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\left(đpcm\right)\)
DT
1
TN
11 tháng 5 2018
Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)
C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)
TX
2
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2b}{4b^2+1}\)
\(\ge a-\dfrac{4ab^2}{4b}+b-\dfrac{4a^2b}{4a}\) (bđt Cô-si)
=a-ab+b-ab=a+b-2ab=4ab-2ab=2ab
Lại có a+b=4ab \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{a}{4b^2+1}+b-\dfrac{b}{4a^2+1}\le a+b-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{4ba^2}{4a^2+1}\le4ab-\dfrac{1}{2}\)
\(\sum\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\le^{CS}2ab\)
\(\Rightarrow CM:2ab\le4ab-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Từ GT \(\Rightarrow4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
26 tháng 8 2020
Ta có :
\(\frac{4ab+1}{4ab}=1+\frac{1}{4ab}\ge1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{4ab}{4ab+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)
Tương tự ta được :
\(\frac{4bc}{4bc+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}};\frac{4ca}{4ca+1}\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)
\(\Rightarrow VP\le\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\)
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(a+b+c\ge\frac{1}{1+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}}\) (1)
Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
\(x,y,z>0;x+y+z=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge2\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\right)\)
\(VP=\frac{2x^2}{x^2+1}+\frac{2y^2}{y^2+1}+\frac{2z^2}{z^2+1}\le\frac{2x^2}{2x}+\frac{2y^2}{2y}+\frac{2z^2}{2z}=x+y+z=VT\)
Vậy BĐT được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
YD
27 tháng 8 2020
\(\frac{4ab}{4ab+1}< =\frac{4ab}{2\sqrt{4ab}}=\sqrt{ab}\)
CMTT =>\(\hept{\begin{cases}\frac{4bc}{4bc+1}< =\sqrt{bc}\\\frac{4ac}{4ac+1}< =\sqrt{ac}\end{cases}}\)
Ta có \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\)
=\(\frac{1}{2}\left(\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b+2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c+2\sqrt{ac}+a\right)\right)\)
=\(\frac{1}{2}\left(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\right)>=0\)
dấu = xảy ra khi a=b=c.
\(=>a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)\(>=\frac{4ab}{4ab+1}+\frac{4bc}{4bc+1}+\frac{4ac}{4ac+1}\)
PT
1
ML
11 tháng 10 2015
\(\text{bđt}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)
Theo bất đẳng thức Côsi: \(a+b\ge2\sqrt{ab};\text{ }1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\text{ (đpcm).}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b;\text{ }ab=1\Leftrightarrow a=b=1\)
18 tháng 7 2017
đặt \(S=\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\)
\(=\frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}+\frac{b^3}{4b^2c^2+b^2}+\frac{c^3}{4a^2c^2+c^2}\ge\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+a^2+b^2+c^2}\)
xét hiệu:
1-4(a2b2+b2c2+c2a2)-a2-b2-c2
=2ab+2bc+2ca-4(a2b2+b2c2+c2a2)
=2ab(1-2ab)+2bc(1-2bc)+2ca(1-2ca)
ta có:
\(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2bc\le\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\le\frac{1}{2};2ca\le\frac{\left(c+a\right)^2}{2}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2ab\left(1-2ab\right);2bc\left(1-2bc\right);2ca\left(1-2ca\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1\ge4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2}{4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+a^2+b^2+c^2}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
=>đpcm
dấu"=" xảy ra khi 1 số=1;2 số còn lại =0
Với a,b không âm,áp dụng CAUCHY 2 lần ta có
\(a+4b\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(1)
\(1+4ab\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\)(2)
Nhân 2 vế của (1) và (2) ta có:\(\left(a+4b\right)\left(1+4ab\right)\ge16ab\)
Lại chia cả 2 vế cho (1+4ab) ta được điều cần cminh...
các bạn ơi **** mình cái mình đang cần khôi phục ****