Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tính tổng các dãy sau :
A = 1 + 2 + 22+…+ 2100
B = 3 – 32 + 33 – … – 3100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 22 + …+ 2 100
Nhân a = 2 cho hai vế :
2A = 2 + 22 + 23 + …+ 2101
tính : 2A – A = (2 + 22 + 23 + …+ 2101 ) – (1 +2 + 22+ …+2100)
Vậy A = 2101 – 1
B = 3 – 32 + 33 – … – 3100
Nhân a = 3 cho hai vế : 3B = 32 – 33 + 34 – … – 3101
Tín : B + 3B = (3 – 33 + 33) – …- 3100) + ( 32 – 23 +34 – … – 3101)
4B = 3 – 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Áp dụng đẳng thức sau (có thể chứng minh bằng cách nhân tung rút gọn):
\(a^n-1=\left(a-1\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a^1+1\right)\)
Áp dụng với \(a=x;\text{ }a=\frac{1}{x}...\)
Lời giải:
Ta có:
\(S=1^{22}+2^{22}+3^{22}+...+2015^{22}\)
\(S=2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)+(1^2+2^2+...+2015^2)\)
Xét số tổng quát \(a^2(a^{20}-1)\)
Nếu $a$ chẵn thì \(a\vdots 2\Rightarrow a^2\vdots 4\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)
Nếu $a$ lẻ. Ta biết một số chính phương chia $4$ dư $0,1$. Mà $a$ lẻ nên \(a^2\equiv 1\pmod 4\)
\(\Rightarrow a^{20}\equiv 1^{10}\equiv 1\pmod 4\)
\(\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 4\)
Vậy \(a^2(a^{20}-1)\vdots 4\) (1)
Mặt khác:
Xét $a$ chia hết cho $5$ suy ra \(a^2\vdots 25\Rightarrow a^2(a^{20}-1)\vdots 25\)
Xét $a$ không chia hết cho $5$ tức $(a,5)$ nguyên tố cùng nhau.
Áp dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^4\equiv 1\pmod 5\)
Có \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1]\)
\(a^4\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5\)
\((a^4)^4+(a^4)^3+(a^4)^2+(a^4)^1+1\equiv 1^4+1^3+1^2+1^1+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)
Do đó: \(a^{20}-1=(a^4-1)[(a^4)^4+...+1]\vdots 25\)
Vậy trong mọi TH thì \(a^2(a^{20}-1)\vdots 25\) (2)
Từ (1)(2) suy ra \(a^2(a^{20}-1)\vdots 100\)
Do đó: \(2^2(2^{20}-1)+3^2(3^{20}-1)+...+2015^2(2015^{20}-1)\vdots 100\)
Mặt khác ta có công thức sau:
\(1^2+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\Rightarrow 1^2+2^2+..+2015^2=\frac{2015(2015+1)(2.2015+1)}{6}\equiv 40\pmod {100}\)
Do đó S có tận cùng là 40
Chữ số tận cùng là 7