Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+bc+bd}+\frac{c^4}{cd+ac+bc}+\frac{d^4}{ad+bd+cd}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)( dễ dàng chứng minh nó bằng AM-GM)
nên \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd;d^2+a^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da=1\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{3}\)
Dấu''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
áp dụng bất đẳng thức:\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)=>\(\frac{4}{a+b}\)(áp dụng 2 cái đầu trc,rồi lấy KQ đó áp dụng típ vào cái thứ 3,rồi cái cuối
Ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT cosi ta có
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\); \(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\); \(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{3}{c^2d}\)
\(\frac{1}{d^3}+\frac{1}{d^3}+\frac{1}{a^3}\ge\frac{3}{d^2a}\)
Cộng các BĐt trên ta có
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\)(1)
Áp dụng BĐT buniacoxki ta có
\(\left(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\right)\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\right)\ge \left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\right)^2\)
Kết hợp với (1) ta được ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Xét BĐT phụ \(\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge\frac{2a-b}{2}\)\(\Leftrightarrow b\left(a-b\right)^2\ge0\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge\frac{2b-c}{2};\frac{c^3}{c^2+d^2}\ge\frac{2c-d}{2};\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{2d-a}{2}\)
Cộng lại theo vế ta có:
\(VT\ge\frac{2a-b}{2}+\frac{2b-c}{2}+\frac{2c-d}{2}+\frac{2d-a}{2}\)
\(=\frac{2a-b+2b-c+2c-d+2d-a}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}\)
Vậy BĐT đc chứng minh
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz dạng cộng mẫu thôi:
\(\text{VT}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\geq \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=\text{VP}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{c}{2}=\frac{d}{4}>0\)
áp dụng bđt này nhé: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\text{≥ }\frac{4}{x+y}\)
ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\text{= }4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{\text{≥ }}4.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\)
=\(4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{≥ }4.\frac{4}{a+b+c+d}\)
=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)