Question

[NGUUYỄN NGỌC MINH]

tìm tất cả các số tự nhiên n để n¹⁹⁹⁷+n¹⁹⁷⁵+1 là số nguyên tố

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Nếu \(n=0\to n^{1997}+n^{1975}+1=1\) không phải là số nguyên tố.

Xét  \(n\) là số nguyên dương. Ta có  \(n^{1997}-n^2=n^2\left(n^{3\times665}-1\right)\vdots\left(n^3\right)^{665}-1\vdots n^3-1\vdots n^2+n+1.\) 

Suy ra \(n^{1997}-n^2\vdots n^2+n+1.\)  
Tương tự, \(n^{1975}-n=n\left(n^{3\times658}-1\right)\vdots\left(n^3\right)^{658}-1\vdots n^3-1\vdots n^2+n+1.\)
Từ đó ta suy ra \(n^{1997}+n^{1975}+1=\left(n^{1997}-n^2\right)+\left(n^{1975}-n\right)+\left(n^2+n+1\right)\vdots n^2+n+1.\)
Vì \(n^{1997}+n^{1975}+1\)  là số nguyên tố (chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó) và \(n^2+n+1>1\), nên \(n^{1997}+n^{1975}+1=n^2+n+1.\) Suy ra \(\left(n^{1997}-n^2\right)+\left(n^{1975}-n\right)=0.\) Do \(n\)là số nguyên dương nên \(\left(n^{1997}-n^2\right)\ge0,\left(n^{1975}-n\right)\ge0.\) Vậy \(n=1.\)

Thử lại với \(n=1\to n^{1997}+n^{1975}+1=3\) là số nguyên tố. 

Đáp số \(n=1.\)

Answer 2

[dang phuoc duc]

dạng này đc gọi là dạng j thế câuk