Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6
Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2 = 31chia hết 31
Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2 = 341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3 + 5k+3
Ta có 62k+1 + 5k+2 = 36k .6+5k .25 chia hết 31
<=> 62k+3 + 5k+3 = 36k .216+5k .125
Xét hiệu : 62k+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 = 36k .216+5k .125−36k .6−5k .25
= 36k .210+5k .100 = 36k .207+5k .93−7(36k−5k ) Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k chia hết 36 - 5 = 31
=> 62n+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 chia hết 31
. Mà 62k+1 + 5k+2 chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3 chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm
:D
Ta có: \(6^2\equiv5\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n}\equiv5^n\left(mod31\right)\)
\(6^{2n+1}\equiv6.5^n\left(mod31\right)\)
Lại có: 5\(5\equiv5\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow5^n\equiv5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow5^{n+2}\equiv25.5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}\equiv31.5^n\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow6^{2n+1}+5^{n+2}⋮31\)
Ta có: (2n-3)n-2n(n+2)=2n^3-3n-2n^3-4n
=-7n chia hết cho 7
Vậy (2n-3)n-2n(n+2) chia hết cho 7 với mọi số nguyên n (đpcm)
Đặt \(P\left(n\right)=3.7^{2n+1}+6.2^{2n+2}\)
Ta thấy \(P\left(0\right)=45⋮45\), luôn đúng.
Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\), khi đó \(P\left(k\right)=3.7^{2k+1}+6.2^{2n+2}⋮45\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(n=k+1\). Thật vậy:
\(P\left(k+1\right)=3.7^{2\left(k+1\right)+1}+6.2^{2\left(k+1\right)+2}\)
\(=3.7^{2k+3}+6.2^{2k+4}\)
\(=49.3.7^{2k+1}+4.6.2^{2k+2}\)
\(=4\left(3.7^{2k+1}+6.2^{2k+2}\right)+45.3.7^{2k+1}\)
Hiển nhiên \(45.3.7^{2k+1}⋮45\). Lại có \(4\left(3.7^{2k+1}+6.2^{2k+2}\right)\) theo giả thiết quy nạp nên suy ra \(P\left(k+1\right)⋮45\), suy ra khẳng định đúng với mọi \(n\inℕ\). Ta có đpcm
ta có
\(2n^2\left(n+1\right)-2n^2\left(n^2+n-3\right)=2n^2\left(4-n^2\right)=2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\)
nhận thấy \(n-2,n,n+2\)là ba số chẵn liên tiếp hoặc 3 số lẻ liên tiếp
do đó tích \(n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 3 với mọi n}\)
hay \(2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 6 với mọi n}\)