Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)
Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\).
Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)
Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$
$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$
$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$
$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Ta có (x+y)2 \(\le\) 2(x2+y2)= 2 \(\Rightarrow\)\(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\).
Đặt a = x+y; b = x.y, ta được a2 - 2b = 1, ta cần tìm Max, Min của S = xy - 2(x+y) + 4 = b - 2a + 4.
a2 - 2b = 1 \(\Rightarrow\)2b = a2 - 1.
2.S = 2b - 4a + 8 = a2 - 1 - 4a + 8 = a2 - 4a + 7 = (a-2)2 + 3.
Do \(-\sqrt 2\le a\le \sqrt2\) nên \(-\sqrt2-2\le a-2 \le \sqrt 2-2 (<0).\)
Khi bình phương lên thì dấu sẽ thay đổi do các vế đều nhỏ hơn 0.
\((-\sqrt2-2)^2\ge (a-2)^2 \ge (\sqrt 2-2)^2 \Rightarrow (-\sqrt2-2)^2+3\ge (a-2)^2 +3\ge (\sqrt 2-2)^2+3 \Rightarrow (-\sqrt2-2)^2+3\ge 2S\ge (\sqrt 2-2)^2+3\)
M=x+2y =>x=M-2y
(M-2y)2+2.(M-2y).y+3.y2=6
3.y2-2My+M2-6=0
Pt có nghiệm khi \(\Delta'\ge0\\ M^2-3.\left(M^2-6\right)\ge0\\ -2M^2+18\ge0\\ M^2\le9\\ \)
\(-3\le M\le3\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn \(x y z=6\). tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(A=x^2 y^2 z^2\) - Hoc24
\(\left(x+y\right)^2+6\left(x+y\right)+9+y^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2+y^2-3=0\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)^2=3-y^2\le3\)
\(\Rightarrow\left(x+y+3\right)^2\le3\Rightarrow-\sqrt{3}\le x+y+3\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-3-\sqrt{3}\le x+y\le-3+\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{max}=-3+\sqrt{3}\\S_{min}=-3-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Từ \(3-y^2\le3\) cho thấy dấu "=" cả 2 trường hợp đều xảy ra tại \(y=0\) còn \(S_{max}\) tại \(x=-3+\sqrt{3};S_{min}\Rightarrow x=-3-\sqrt{3}\)
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t