Question

[Trần Bảo Trân]

Cho hình thang ABCD có góc A = góc B = 90 độ, AB=AD=1/2BC

a) Chứng minh rằng: BD vuông góc DC

b) Biết AB=3cm. Tính chu vi ABCD

Answer 1

[_Guiltykamikk_]

a) Kẻ  \(DH\perp BC\)

Xét tứ giác ADHB có  \(\widehat{ABH}=\widehat{DAB}=\widehat{BHD}=90^o\)

\(\Rightarrow ADHB\)là hình chữ nhật 

Mà  \(AD=AB\)

\(\Rightarrow ADHB\)là hình vuông

\(\Rightarrow AD=AB=BH=DH\)

Ta có BH = DH \(\Rightarrow\Delta DBH\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{HDB}=45^o\)

Lại có  \(BH=\frac{1}{2}BC;BH+HC=BC\)

\(\Rightarrow CH=\frac{1}{2}BC\)

Xét \(\Delta DHC\) có  \(DH=CH=\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

\(\Rightarrow\Delta DHC\)vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{CDH}=45^o\)

Ta có :  \(\widehat{BDC}=\widehat{CDH}+\widehat{BDH}=45^o+45^o=90^o\)

\(\Rightarrow BD\perp DC\)

b) Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta BAD\)vuông cân tại A ta được :

\(AB^2+AD^2=BD^2\)

\(\Leftrightarrow3^2+3^2=BD^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=18\)

\(\Leftrightarrow BD=\sqrt{18}\)( cm )

Xét  \(\Delta BDC\)có  \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\left(=45^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BDC\)vuông cân tại D

\(\Rightarrow DC=BD=\sqrt{18}\left(cm\right)\)

Chu vi ABCD =  \(AD+DC+BC+AB\)

                    \(=3+\sqrt{18}+6+3\)

                    \(=12+3\sqrt{2}\left(cm\right)\)