Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Có: `\Delta'=(m-2)^2-(m^2-4m)=m^2-4m+4-m^2+4m=4>0 forall m`
`=>` PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m`.
b) Viet: `x_1+x_2=-2m+4`
`x_1x_2=m^2-4m`
`3/(x_1) + x_2=3/(x_2)+x_1`
`<=> 3x_2+x_1x_2^2=3x_1+x_1^2 x_2`
`<=> 3(x_1-x_2)+x_1x_2(x_1-x_2)=0`
`<=>(x_1-x_2).(3+x_1x_2)=0`
`<=> \sqrt((x_1+x_2)^2-4x_1x_2) .(3+x_1x_2)=0`
`<=> \sqrt((-2m+4)^2-4(m^2-4m)) .(3+m^2-4m)=0`
`<=> 4.(3+m^2-4m)=0`
`<=> m^2-4m+3=0`
`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=1\end{matrix}\right.\)
Vậy `m \in {1;3}`.
\(ac=-3< 0\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\Leftrightarrow\dfrac{x_1^3+x_2^3}{\left(x_1x_2\right)^2}=m-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{9}=m-1\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+18\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\8\left(m-1\right)^2+9=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)
1:Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
Sửa đề: Chứng minh
TH1: m=0
Phương trình sẽ trở thành \(0x^2-2\left(0+1\right)x+1-3\cdot0=0\)
=>1=0(vô lý)
TH2: m<>0
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot m\cdot\left(1-3m\right)\)
\(=4\left(m+1\right)^2-4m+12m^2\)
\(=4m^2+8m+4-4m+12m^2\)
\(=16m^2+4m+4\)
\(=16\left(m^2+\dfrac{1}{4}m+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=16\left(m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{15}{64}\right)\)
\(=16\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{4}>=\dfrac{15}{4}>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có nghiệm với mọi m<>0
2: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m+1\right)\right]}{m}=\dfrac{2m+2}{m}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\left(\dfrac{2m+2}{m}\right)^2-2\cdot\dfrac{1-3m}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4}{m^2}+\dfrac{6m-2}{m}\)
\(=\dfrac{4m^2+8m+4+6m^2-2m}{m^2}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}\)
\(=10+\dfrac{6}{m}+\dfrac{4}{m^2}\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}\right)^2+2\cdot\dfrac{2}{m}\cdot1,5+2,25+7,75\)
\(=\left(\dfrac{2}{m}+1,5\right)^2+7,75>=7,75\forall m\ne0\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\dfrac{2}{m}+1,5=0\)
=>\(\dfrac{2}{m}=-1,5\)
=>\(m=-\dfrac{2}{1,5}=-\dfrac{4}{3}\)
Với \(m=0\) pt có nghiệm
Với \(m\ne0\)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(1-3m\right)=4m^2+m+1=\left(m+\dfrac{1}{8}\right)^2+\dfrac{15}{16}>0;\forall m\)
Pt luôn có nghiệm với mọi m
b. Câu này chắc đề đúng là "với m khác 0"
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{1-3m}{m}\end{matrix}\right.\)
\(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=\dfrac{4\left(m+1\right)^2}{m^2}-\dfrac{2\left(1-3m\right)}{m}\)
\(=\dfrac{10m^2+6m+4}{m^2}=\dfrac{4}{m^2}+\dfrac{6}{m}+10\)
\(=4\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{31}{4}\ge\dfrac{31}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{4}{3}\)
1.Ta có \(\Delta=4m^2-4\left(m^2-m-3\right)=4m+12\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Rightarrow\Delta>0\Rightarrow4m+12>0\Rightarrow m>-3\)
Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m-3\end{cases}}\)
a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1.x_2< 0\Rightarrow m^2-m-3< 0\Rightarrow\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)
Vậy \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}< m< \frac{1+\sqrt{13}}{2}\)
b. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m>0\\x_1.x_2=m^2-m-3>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< \frac{1-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\left(l\right);\hept{\begin{cases}m>0\\m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}}}}\)
Vậy \(m>\frac{1+\sqrt{13}}{2}\)
2. a.Ta có \(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1\)
Ta thấy \(\Delta=4m^2+1>0\forall m\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiejm phân biệt với mọi m
b. Theo hệ thức Viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1-2m\\x_1.x_2=-m\end{cases}}\)
Để \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x2\right)^2-4x_1x_2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(1-2m\right)^2-4.\left(-m\right)=1\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4m=1\)
\(\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0\)
Vậy \(m=0\)thoă mãn yêu cầu bài toán
\(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\) (1)
a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-2m-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Để t nghĩ tí
\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m=0\)
\(\text{Δ}=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)\)
\(=4m^2-8m+4+8m=4m^2+4>=4>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
a: Khi m = -4 thì:
\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)
Pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)
a.
\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+1\right)=1>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\ne0\)
b.
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+1}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế:
\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
c.
Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x_1x_2\ne0\Rightarrow m\ne-1\)
Khi đó: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{7}{5}\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{7}{5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2m+1}{m+1}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow10m+5=7m+7\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)
xét pt \(x^2-\left(m-1\right)x-m^2+m-1=0\) \(\left(1\right)\)
từ (1) có \(\Delta=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-4.\left(-m^2+m-1\right)\)
\(\Delta=m^2-2m+1+4m^2-4m+4\)
\(\Delta=5m^2-6m+5\)
\(\Delta=5\left(m^2-\frac{6}{5}m+1\right)\)
\(\Delta=5\left[m^2-2.\frac{3}{5}m+\frac{9}{25}-\frac{9}{25}+1\right]\)
\(\Delta=5\left[\left(m-\frac{3}{5}\right)^2+\frac{16}{25}\right]>0\forall m\)
\(\Rightarrow pt\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
ta có vi - ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-1\\x_1.x_2=-m^2+m-1\end{cases}}\)
theo bài ra \(\left|x_2\right|-\left|x_1\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)=4\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left|x_1.x_2\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2+2\left|x_1.x_2\right|=4\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-2\left(-m^2+m-1\right)+2\left|x_1.x_2\right|=4\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1+2m^2-2m+2+2\left|x_1.x_2\right|=4\)
\(\Leftrightarrow3m^2-4m+3+2\left|x_1.x_2\right|=4\)
cái này đến đây xét ra 2 trường hợp rồi đối chiếu với ĐKXĐ là xong