Question

[Lê Thùy Dương]

Cho tam giác ABC (AB>AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là giao điểm ba đường cao BD, CE, A F của tg ABC. 

a.

b.

c. Vẽ đường kính AI của (O). Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh IK//BC

Answer 1

[Mạnh Lê]

Nhắc lại kiến thức 

2 điểm đối xứng nhau qua 1 đường thẳng thì đường thẳng ấy là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.

+ Cách tư duy: K là điểm đối xứng của H qua BC => BC phải là đường trung trực của đoạn HK tức là BC vuông góc với HK tại trung điểm của đoạn HK. Mà AF là đường cao của tam giác ABC => AF \(\perp\)BC tại F => Nếu K là điểm đối xứng của H qua BC thì K phải thuộc đường thẳng AF và F phải là trung điểm của HK. 

Bạn giả sử IK || BC, vì BC vuông góc với AF (gt) => IK vuông góc với AF => K thuộc đường tròn đường kính IA (hay chính là K thuộc đường tròn (O)). Bài toán bây giờ trở thành bạn đi chứng minh K thuộc (O) là enter :)))

+ Cách chứng minh: Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại điểm M, và bây giờ đi chứng minh K trùng M

Giải:

Kéo dài AF cắt (O) tại M 

ta có \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\)(cùng = \(\frac{1}{2}sđ\widebat{BM}\)) (1)

lại có: \(\widehat{BAM}=\widehat{BCE}\)cùng phụ với góc \(\widehat{B}\)(2)

Từ (1) và (2) => BC là đường phân giác của góc \(\widehat{HCM}\)

Xét tam giác HCM có BC vừa là đường cao vừa là đg phân giác => HCM là tam giác cân tại C => BC là đường trung trực của đoạn HM => M là điểm đối xứng của H qua BC => M trùng với K => K thuộc đường tròn (O) 

Ta có \(\widehat{AKI}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => IK \(\perp\)AK mà BC \(\perp\)AK (do AK là đường cao) => IK//BC (2 đg thẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng thì chúng song song với nhau) => ĐPCM