Question

[The magic]

Cho B = 2 + 2²+2³+.....+2³⁰. CMR B chia hết 21

Answer 1

[Cô nàng cự giải]

Ta có : 21 = 3 . 7

Mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau

=> B \(⋮\)21 khi B \(⋮\)3 và B \(⋮\)7

• \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow B=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{29}+2^{30}\right)\)

\(\Rightarrow B=2.\left(2^0+2^1\right)+2^3.\left(2^0+2^1\right)+...+2^{29}.\left(2^0+2^1\right)\)

\(\Rightarrow B=2.3+2^3.3+...+2^{29}.3\)

\(\Rightarrow B=3.\left(2+2^3+...+2^{29}\right)⋮3\)( 1 )

• \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow B=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(\Rightarrow B=2.\left(2^0+2^1+2^2\right)+2^4.\left(2^0+2^1+2^2\right)+...+2^{28}.\left(2^0+2^1+2^2\right)\)

\(\Rightarrow B=2.7+2^4.7+...+2^{28}.7\)

\(\Rightarrow B=7.\left(2+2^4+...+2^{28}\right)⋮7\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow B⋮3.7\)

\(\Rightarrow B⋮21\)

Answer 2

[Dương Đình Hưởng]

B= 2+ 2²+ 2³+...+ 2²⁹+ 2³⁰.

B có số các số hạng là:

( 30- 1): 1+ 1= 30( số)

* Ta ghép 2 số hạng vào 1 nhóm được 15 nhóm.

=> B=( 2+ 2²)+( 2³+ 2⁴)+( 2⁵+ 2⁶)+...+( 2²⁷+ 2²⁸)+( 2²⁹+ 2³⁰).

=> B= 2( 1+ 2)+ 2³( 1+ 2)+ 2⁵( 1+ 2)+...+ 2²⁷( 1+ 2)+ 2²⁹( 1+ 2).

B= 2. 3+ 2³. 3+ 2⁵. 3+...+ 2²⁷. 3+ 2²⁹. 3.

B= 3( 2+ 2³+ 2⁵+...+ 2²⁷+ 2²⁹)\(⋮\)3.

=> B\(⋮\) 3( 1)

* Ta ghép 3 số hạng vào 1 nhóm được 10 nhóm.

=> B=( 2+ 2²+ 2³)+( 2⁴+ 2⁵+ 2⁶)+( 2⁷+ 2⁸+ 2⁹)+...+( 2²⁵+ 2²⁶+ 2²⁷)+( 2²⁸+ 2²⁹+ 2³⁰).

B= 2( 1+ 2+ 2²)+ 2⁴( 1+ 2+ 2²)+ 2⁷( 1+ 2+ 2²)+...+ 2²⁵( 1+ 2+ 2²)+ 2²⁸( 1+ 2+ 2²).

B= 2. 7+ 2⁴. 7+ 2⁷. 7+...+ 2²⁵. 7+ 2²⁸. 7.

B= 7( 2+ 2⁴+ 2⁷+...+ 2²⁵+ 2²⁸)\(⋮\) 7.

=> B\(⋮\) 7( 2).

( 3; 7)= 1( 3).

Từ( 1);( 2);( 3)

=> B\(⋮\) 21.

=> đpcm.