K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
BC
20 tháng 4 2016
Ta có \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2-3ab+3b^2}{3a^2+3ab+b^2}=\frac{a^2+ab+b^2+2a^2-4ab+2b^2}{3a^2+3ab+3b^2}\) \(=\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\)
. Xét \(a^2+ab+b^2\) \(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
. Suy ra \(\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\ge\frac{1}{3}\) => \(MinQ=\frac{1}{3}\) khi \(a=b\)
. \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2+3ab+3b^2-2a^2-4ab-2b^2}{a^2+ab+b^2}\) \(=3-\frac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\le3\)
. Suy ra \(MaxQ=3\) khi \(a=-b\)
. Kết luận ^^
10 tháng 3 2017
ta có : 3-Q=\(\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\)>=0
\(\Rightarrow\) Max Q=3
ta có : Q-\(\dfrac{1}{3}\)= \(\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{3\left(a^2+ab+b^2\right)}\)>=0
\(\Rightarrow\)Min Q=\(\dfrac{-1}{3}\)
PC
10 tháng 3 2017
Hãy dùng phương pháp tập thể dục như của Hung nguyen nhé
Theo bài ra , ta có :
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)
Vì a,b đồng thời không bằng không ta chia cả tử và mẩu cho 2ab , ta được
\(\dfrac{2a}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{2ab}+1+\dfrac{b^2}{2ab}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\)
Vì a,b khác 0 =) a/2b , b/2a khác 0
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số a/2b , b/2a khác 0
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{2b}.\dfrac{b}{2a}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}\ge1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow Max_Q=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{2a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)
mà a và b là hai số khác 0 =) a = b
Vậy GTLN của Q là 1/5 khi và chỉ khi a = b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
\(\frac{P}{3}=\frac{a^2-ab-3b^2}{3}=\frac{a^2-ab-3b^2}{a^2+ab+b^2}\)
Nếu \(b=0\Rightarrow P=3\)
Nếu \(b\ne0\) chia cả tử và mẫu cho \(b^2\) ta được: \(\frac{P}{3}=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2-\frac{a}{b}-3}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\frac{a}{b}+1}\)
Đặt \(\frac{a}{b}=x\Rightarrow\frac{P}{3}=\frac{x^2-x-3}{x^2+x+1}\)
\(\Leftrightarrow Px^2+Px+P=3x^2-3x-9\)
\(\Leftrightarrow\left(P-3\right)x^2+\left(P+3\right)x+P+9=0\)
Với \(P\ne3\) ta có
\(\Delta=\left(P+3\right)^2-4\left(P-3\right)\left(P+9\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3P^2-30P+117\ge0\)
\(\Rightarrow-13\le P\le3\)
\(\Rightarrow P_{max}=3\) khi \(b=0\)
\(P_{min}=-13\) khi \(x=-\frac{5}{16}\Rightarrow a=-\frac{5}{16}b\)
15 tháng 10 2020
a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)
b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
KN
15 tháng 10 2020
Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))
a. Cách phổ thông : x2 + y2 + z2\(\ge\)xy + yz + zx
<=> 2 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )
<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2yz + z2 ) + ( z2 - 2zx + x2 )\(\ge\)0
<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2\(\ge\)0 ( * )
Vì ( x - y )2 \(\ge\)0 ; ( y - z )2 \(\ge\)0 ; ( z - x )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z
=> ( * ) đúng
=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
b. Xài Cauchy cho mới
( x2 + y2 + z2 ) ( 12 + 12 + 12 )\(\ge\)( x + y + z )2 = 32 = 9
<=> 3 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)9
<=> x2 + y2 + z2\(\ge\)3
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1
c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )2 = 32 = 9
<=> xy + yz + zx\(\le\)3
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1
d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được
x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9
Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )
=> A + B \(\ge\)6
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1
LH
1
30 tháng 1 2020
\(A=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}\)
\(=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)(cauchy-schwarz dạng engel)
\(=7+4\sqrt{3}\)
TN
0
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
9 tháng 8 2021
ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)
Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)
Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)
NP
2
17 tháng 9 2018
a) \(P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
Vì x2; x4 và +1 đều lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x ( trừ 1 :v )
suy ra P >= với mọi x
Mà x2 < x4 + x2 + 1
suy ra P <= 1
Dấu "=" xảy ra <=> P = 1
<=> x2 = x4 + x2 + 1
<=> x4 + x2 + 1 - x2 = 0
<=> x4 + 1 = 0
<=> x4 = -1
mà x4 >= với mọi x
=> vô nghiệm
P.s : tìm đc Pmax khi <=> P = 0
<=> x2 = 0
<=> x = 0
Vậy Pmax = 0 <=> x = 0
17 tháng 9 2018
Nhầm đoạn P.s :
Tìm đc Pmin nha bạn :v
lí luận >= 0 như trên ta có P >= 0 với mọi x
Dấu "=" xảy ra <=> P = 0
<=> x2 = 0 ( vì mẫu ko bao giờ = 0 đc )
<=> x = 0
Vậy Pmin = 0 <=> x = 0