Question

[Cô Tuyết Ngọc]

Hãy viết tổng $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3$ thành một bình phương của một số tự nhiên.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Ta chứng minh đẳng thức 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

Với \(n=3\) ta có

\(1^3+2^3+3^3=36\)

\(\left(1+2+3\right)^2=36\)

Vậy (1) đúng

Giả sử với \(n=k\) thì (1) vẫn đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2=\)

\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}\)

Với \(n=k+1\)

(1)\(\Leftrightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2\)(2)

Xét VT

\(VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

Xét VP

\(VP=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\left[\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)}{2}\right]^2=\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}=VT\) => (2) đúng

Theo nguyên lý của phương pháp quy nạp thì (2) đúng nên (1) đúng

Áp dụng vào bài toán

\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\left(1+2+3+4+5\right)^2=15^2\)