![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXĐ : \(x,y>0\)
a/ \(A=\left(\sqrt{x}+\frac{y-\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\left(\frac{x}{\sqrt{xy}+y}+\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\left(\frac{x+\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\left(\frac{x\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\sqrt{x}}-\frac{y\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}.\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}-\frac{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\right)\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}:\frac{x^2-x\sqrt{xy}-y\sqrt{xy}-y^2-x^2+y^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}:\frac{-\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.\frac{-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{x+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}\)
b/ Ta có ; \(4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow B=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{3}=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\frac{x}{4}=\frac{y}{7}\) = k => x = 4k; y = 7k ( k khác 0)
Thay vào C ta được: \(C=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(4k\right)^2.7k-\left(2-\sqrt{5}\right).4k.\left(7k\right)^2}{\left(4k\right)^3+\left(7k\right)^3}=\frac{\left(112.\left(1+\sqrt{3}\right)-196.\left(2-\sqrt{5}\right)\right).k^3}{407k^3}\)
\(C=\frac{112+112\sqrt{3}-392+196\sqrt{5}}{407}=\frac{112\sqrt{3} +196\sqrt{5}-280}{407}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Thật vậy biến đổi tương đương ta đưa về \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)
BĐT này luôn đúng, thế thì
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}{2}\)
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\)
Như vậy ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\\\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\\\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\end{cases}}\)
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1/3
Đặng Ngọc Quỳnh không cần a,b rồi suy ra x,y, quá lòng vòng
Bạn tham khảo cách làm tại đây
Câu hỏi của Pham Quoc Cuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+x^3=\sqrt{y+2}+y^3\)
Đặt \(f\left(x\right)=\sqrt{x+2}+x^3\). Ta chứng minh \(f\left(x\right)\) là hàm số đồng biến với \(x\ge-2\)
Giả sử \(f\left(a\right)>f\left(b\right)\) với \(a,b\ge-2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+2}+a^3>\sqrt{b+2}+b^3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+2}-\sqrt{b+2}+a^3-b^3>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-b}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+a^2-ab+b^2\right)>0\) (*)
Dễ thấy \(\dfrac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}}+a^2+ab+b^2>0\) với mọi \(a,b\ge-2\)
Do đó từ (*) suy ra \(a>b\).
Vậy ta có \(f\left(a\right)>f\left(b\right)\Rightarrow a>b\). Do đó \(f\) là hàm số đồng biến.
Theo trên, ta có \(f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y\)
Thay vào biểu thức B, ta có \(B=x^2+2x+10\)
\(B=\left(x+1\right)^2+9\) \(\ge9\).
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-1\) (nhận) \(\Rightarrow y=-1\)
Vậy GTNN của B là 9, xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right)\)
\(\frac{x-y+3\sqrt{x}+3\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}+3\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}+3}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)