Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.
Đặt \(x=a+b+c;y=ab+bc+ac;z=abc\)
Suy ra : \(2\left(1+abc\right)+\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(1+z\right)+\sqrt{2\left(x^2+y^2+z^2-2xz-2y+1\right)}\ge x+y+z+1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-2xz-2y+1\right)\ge\left(x+y-z-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2x+2yz-2y-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-z+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^4}{27.27.9}}=\frac{4a}{9}\)
\(\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{b+2}{27}+\frac{c+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4b}{9}\)
\(\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{c+2}{27}+\frac{a+2}{27}+\frac{1}{9}\geq \frac{4c}{9}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}+\frac{2(a+b+c)}{27}+\frac{7}{9}\geq\frac{4(a+b+c)}{9}\)
\(\frac{a^4}{(a+2)(b+2)}+\frac{b^4}{(b+2)(c+2)}+\frac{c^4}{(c+2)(a+2)}\geq \frac{10(a+b+c)}{27}-\frac{7}{9}=\frac{30}{27}-\frac{7}{9}=\frac{1}{3}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Nên BĐT tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)
BĐT tương đương:
\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)
\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)
Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)
Có: \(VT=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ac+bc}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)được
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(Chuyển vế đưa thành tổng bình phương)
\(\Rightarrow VT\ge...\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" khi a=b=c=1
Vào đây cậu nhá :)
Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Lan Thy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Vì a, b, c > 0
\(\frac{a^3}{b^2\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b^2\left(b+c\right)}.\frac{a\left(b+c\right)}{4}}=2\sqrt{\frac{a^4}{4b^2}}=\frac{a^2}{b}\)
Tương tự \(\frac{b^3}{c^2\left(c+a\right)}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}\ge\frac{b^2}{c}\) và \(\frac{c^3}{a^2\left(a+b\right)}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge\frac{c^2}{a}\)
Do đó \(VT\ge\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\left(a+b+c\right)-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}\)
Đặt \(t=a+b+c\) thì
\(VT\ge t-\frac{t^2}{6}=-\left(\frac{t^2}{6}-t+\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}=-\left(\frac{t}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow t=3\)
Vậy \(VT\ge\frac{3}{2}\) Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c.
áp dụng bđt bunhia- cốp xki với bộ số (a,b,c)(1,1,1)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(< =>ĐPCM\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\) ; \(b^2+c^2\ge2bc\) ; \(c^2+a^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c