Chứng minh: \(x^2+4x+1\ge-3\) \(x^2+x+2\ge\dfrac{7}{4}\)

ND

Nguyễn Đặng Hoàng Anh

4 tháng 9 2021

Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)

e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)

#Toán lớp 8

5

LL

Lấp La Lấp Lánh

4 tháng 9 2021

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)

Đúng(1)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

4 tháng 9 2021

a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Đúng(1)

TH

Thu Hà

19 tháng 4 2017

Câu hỏi hay

1, Với mọi a,b,c tùy ý, chứng minh:

a² + b² + 1 \(\ge\) ab + a + b

2, Cho x + y + z = 1

Chứng minh: x² + y² + z² \(\ge\dfrac{1}{3}\)

3, Cho 4x + y = 1

Chứng minh: 4x² + y² \(\ge\dfrac{1}{3}\)

#Toán lớp 8

2

LF

Lightning Farron

19 tháng 4 2017

Bài 1:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Tim Khái

5 tháng 5 2017

bài 1 mình thấy sao sao ý !!

đề bài là với mọi a,b,c tùy ý và chứng minh chứ bạn làm là khai thác ý cần chứng minh để chỉ ra điều kiện mà

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thị Hương

11 tháng 4 2021

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\)

b) \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với \(x>0,y>0\)

#Toán lớp 8

0

YN

Yuki Nguyễn

6 tháng 12 2018

Chứng minh rằng với x ≥ 1; x ∈ N thì:

\(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \dfrac{1}{4}\)

#Toán lớp 8

1

MS

Mashiro Shiina

6 tháng 12 2018

Thừa số tổng quát:

\(\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1=4n\left(n+1\right)+1>4n\left(n+1\right)\)

\(\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{7^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(2.1+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2.2+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2.3+1\right)^2}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)^2}\)

\(< \dfrac{1}{4.1\left(1+1\right)}+\dfrac{1}{4.2\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{4.3.\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{4.n.\left(n+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n.\left(n+1\right)}\right)\)

\(< \dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)< \dfrac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

Đúng(0)

DT

Đàm Tùng Vận

4 tháng 3 2022

Giai cac bpt sau

a,\(\dfrac{4x-2}{3}-x+3\le\dfrac{1-5x}{4}\)

b,\(\dfrac{x+4}{5}-x-5\ge\dfrac{x+3}{3}-\dfrac{x-2}{2}\)

#Toán lớp 8

2

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

4 tháng 3 2022

a: \(\Leftrightarrow4\left(4x-2\right)+12\left(-x+3\right)< =3\left(1-5x\right)\)

=>16x-8-12x+36<=3-15x

=>4x+28<=3-15x

=>19x<=-25

hay x<=-25/19

b: \(\Leftrightarrow6\left(x+4\right)+30\left(-x-5\right)>=10\left(x+3\right)-15\left(x-2\right)\)

=>6x+24-30x-150<=10x+30-15x+30

=>-24x-126<=-5x+60

=>-19x<=186

hay x>=-186/19

Đúng(0)

I

ILoveMath

4 tháng 3 2022

\(a,\dfrac{4x-2}{3}-x+3\le\dfrac{1-5x}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{4\left(4x-2\right)}{12}-\dfrac{12\left(x-3\right)}{12}\le\dfrac{3\left(1-5x\right)}{12}\\ \Leftrightarrow16x-8-12x+36\le3-15x\\ \Leftrightarrow4x+28\le3-15x\\ \Leftrightarrow19x+25\le0\\ \Leftrightarrow x\le-\dfrac{25}{19}\)

\(b,\dfrac{x+4}{5}-x-5\ge\dfrac{x+3}{3}-\dfrac{x-2}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{6\left(x+4\right)}{30}-\dfrac{30\left(x+5\right)}{30}\ge\dfrac{10\left(x+3\right)}{30}-\dfrac{15\left(x-2\right)}{30}\\ \Leftrightarrow6x+24-30x-150\ge10x+30-15x+30\\ \Leftrightarrow-24x-126\ge-5x+60\\ \Leftrightarrow19x+186\le0\\ \Leftrightarrow x\le-\dfrac{186}{19}\)

Đúng(2)

ND

Nghịch Dư Thủy

29 tháng 4 2018

Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\) Bài 2: a) Tìm GTLN của A = \(\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\) b) Tìm GTLN của B = xy biết 4x + 5y = 40 Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\) Bài 4: Cho m, n > 0. Chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

ND

Nhã Doanh

29 tháng 4 2018

Bài 1:

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\) với a,b,c > 0

Áp dụng BĐT Chauchy cho 2 số không âm, ta có:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}=c\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge c\sqrt{\dfrac{b}{a}.\dfrac{a}{b}}=2c\)

\(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}=a\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\ge a\sqrt{\dfrac{c}{b}.\dfrac{b}{c}}=2a\)

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}=b\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge b\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}=2b\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)

Đúng(0)

NN

nguyen ngoc son

2 tháng 5 2021

1.giải các bpt sau

a.\(\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ge x^2-7x+1\)

b.\(\dfrac{1,5-x}{5}\ge\dfrac{4x+5}{2}\)

2.giải các pt sau

\(x^3+1=x.\left(x+1\right)\)

#Toán lớp 8

1

迪丽热巴·迪力木拉提

2 tháng 5 2021

undefined

Đúng(2)

DT

Duong Thi Nhuong

14 tháng 6 2017

Cho x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3 và \(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

Chứng minh M ≤ \(\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

#Toán lớp 8

1

LF

Lightning Farron

14 tháng 6 2017

\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)

Đúng(0)

NT

Nguyễn Thanh Vân

26 tháng 3 2018

1) Chứng minh: 2 (a² + b²) \(\ge\) (a + b)².

2) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

3) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

a² + b² + c² < 2 (ab + bc + ca).

#Toán lớp 8

1

PK

Phùng Khánh Linh

30 tháng 3 2018

1) 2( a² + b² ) ≥ ( a + b)²

<=> 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² ≥ 0

<=> ( a - b )² ≥ 0 ( luôn đúng )

=> đpcm

2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :

a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)

=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4

=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP