![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chọn B.
Ta có: góc A tù nên cos A < 0 ; sinA > 0 ; tan A < 0 ; cot A < 0
Do góc A tù nên góc B và C là các góc nhọn có các giá trị lượng giác đều dương
Do đó: M > 0 ; N > 0 ; P > 0 và Q < 0.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇒ VT = \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)
⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}=\dfrac{a}{bc}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=2a^2\)
\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\) Tam giác vuông tại A theo Pitago đảo
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(cosA+cosB-cosC=2cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin^2\frac{C}{2}-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)-1\)
\(=2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)-1\)
\(=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}-1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Không mất tính tổng quát giả sử: \(A\ge B\ge C\). Khi đó \(A\ge\dfrac{\pi}{3};C\le\dfrac{\pi}{3}\)
Vì \(\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\) và \(\pi\ge A+B=\pi-C\ge\dfrac{2\pi}{3}\) nên
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\pi}{2}\ge A\ge\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\ge A+B\ge\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\\\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}+0=A+B+C=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
Ta có: \(f"\left(x\right)=-\cos x< 0\forall x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) nên hàm số \(f\left(x\right)\) lõm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Khi đó, theo BĐT Karamata ta có:
\(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+f\left(0\right)\le f\left(A\right)+f\left(B\right)+f\left(C\right)\le3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)
Hay \(\cos A+\cos B+\cos C\le\dfrac{3}{2}\)