DF
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 8 2017
Đặt:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}\)
\(\Leftrightarrow2A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}\)
\(>\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{101}}\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}+\sqrt{5}-\sqrt{3}+...+\sqrt{101}-\sqrt{99}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{101}-\sqrt{1}\right)>\frac{1}{2}.\left(\sqrt{100}-\sqrt{1}\right)\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A>\frac{9}{4}\)
30 tháng 8 2017
Câu 2/ Ta có:
\(n^{n+1}>\left(n+1\right)^n\)
\(\Leftrightarrow n>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1\right)\)
Giờ ta chứng minh cái (1) đúng với mọi \(n\ge3\)
Với \(n=3\) thì dễ thấy (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến \(n=k\) hay
\(k>\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\)
Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)hay \(k+1>\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\)
Ta có: \(\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}< \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+1}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k.\left(1+\frac{1}{k}\right)\)
\(< k\left(1+\frac{1}{k}\right)=k+1\)
Vậy có ĐPCM
T
3 tháng 8 2019
Sửa đề: n thuộc N*
n = 1 => mệnh đề đúng
Giả sử nó đúng đến n = k: \(7^k+3k-1⋮9\)
Cần chứng minh nó đúng với n = k + 1. \(7^{k+1}+3\left(k+1\right)-1⋮9\)
<=> \(7^k.7+3k+2=7\left(7^k+3k-1\right)-18k+9\)
\(=7\left(7^k+3k-1\right)-9\left(2k-1\right)⋮9\) (đúng)
P/s: Em có tính sai chỗ nào ko :>>
10 tháng 3 2020
a) Ta có: \(a=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
Đặt \(n^2+3n+1=t\)(1)
Khi đó: \(a=\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\)
\(\Rightarrow\) a là số chính phương
b) Để a=121 thì \(t^2=121\)\(\Rightarrow t=\pm11\)
+ Với t=11 thì (1) \(\Leftrightarrow n^2+3n+1=11\Leftrightarrow n^2+3n-10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-2\right)\left(n+5\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-5\end{cases}}\)
+ Với n=-11 thì (1)\(\Leftrightarrow n^2+3n+1=-11\Leftrightarrow n^2+3n+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4}=0\) ( vô lý)
Do đó, pt vo nghiệm
Vậy để a=121 thì n =2 hoặc n=-5
NA
1
5 tháng 8 2021
Ta có: A=n(n+1)(2n+1)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+2-1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)
Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)
hay \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)
Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3!\)
hay \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)
\(\Leftrightarrow A⋮6\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
Xét:
$M=1+10+....+10^n$
$10M=10+10^2+....+10^{n+1}$
$10M-M=10^{n+1}-1$
$M=\frac{10^{n+1}-1}{9}$
$A=M.(10^{n+1}+5)+1=\frac{(10^{n+1}-1)(10^{n+1}+5)}{9}+1$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}-5+9}{9}$
$=\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}$
$=\frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}$
$=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2$
Ta thấy: $10^{n+1}+2\equiv 1^{n+1}+2=3\equiv 0\pmod 3$
Do đó: $\frac{10^{n+1}+2}{3}\in\mathbb{N}$
Suy ra $A$ là scp.
DV
2
LC
1 tháng 9 2015
a+1/a là số nguyên.
=>a+1 chia hết cho a
=>1 chia hết cho a
=>a=Ư(1)=(-1,1)
Xét a=1=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Xét a=-1.
Với n chẵn=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Với n lẻ=>an+1=-1+1=0 chia hết cho -1=(-1)n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Vậy an+1/a là số nguyên.
1 tháng 9 2015
Bạn Lê Chí Cường giải không đúng, do hiểu nhầm \(a+\frac{1}{a}\). là \(\frac{a+1}{a}\).
Bài này giải như sau: Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp rằng \(a^n+\frac{1}{a^n}\) là số nguyên dương với mọi \(n\) nguyên dương.
Thực vậy, theo giả thiết \(a+\frac{1}{a}\in Z\) nên khẳng định đúng khi \(n=1.\)
Với \(n=2,\) thì ta có \(a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\in Z.\)
Giả sử rằng \(a^k+\frac{1}{a^k}\) là số nguyên dương với mọi \(k\) nguyên dương với mọi \(k=1,\ldots,n\). Ta cần chứng minh \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên. Thực vậy, ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)=\left(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\right)+\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\)
\(\to a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)-\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\).
Theo giả thiết quy nạp \(\left(a+\frac{1}{a}\right),\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right),\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\) là các số nguyên nên \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên.
Vậy khẳng định đúng với \(n+1.\). Theo nguyên lí quy nạp khẳng định đúng với mọi số nguyên dương \(n.\)
DT
3
2 tháng 1 2017
Đề sai rồi nhé. 82n-1 thì nếu n = 0 thì A là số thập phân sao chia hết cho 59 được. M sửa đề luôn nhé.
\(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)
\(=25.5^n+26.5^n+8.64^n\)
\(=5^n\left(25+26\right)+8.64^n\)
\(=5^n\left(59-8\right)+8.64^n\)
\(=59.5^n+8\left(64^n-5^n\right)\)
\(=59.5^n+8.\left(64-5\right)\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5...\right)\)
\(=59.5^n+8.59.\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5...\right)\)
Vậy A chia hết cho 59 với mọi n tự nhiên
2 tháng 1 2017
Đề sai rồi nhé. 82n-1 thì nếu n = 0 thì A là số thập phân sao chia hết cho 59 được. M sửa đề luôn nhé.
\(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)
\(=25.5^n+26.5^n+8.64^n\)
\(=5^n\left(25+26\right)+8.64^n\)
\(=5^n\left(59-8\right)+8.64^n\)
\(=59.5^n+8\left(64^n-5^n\right)\)
\(=59.5^n+8.\left(64-5\right)\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5...\right)\)
\(=59.5^n+8.59.\left(64^{n-1}+64^{n-2}.5...\right)\)
Vậy A chia hết cho 59 với mọi n tự nhiên