Question

[Chu Hiểu Đang]

Chứng minh rằng với \(n\) \(\in\)\(N\)* số \(2^{3^n}\)\(+1\) chia hết cho \(3^n\)

Giúp tớ với các cậu

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Quy nạp:

Xét \(n=1\Rightarrow 2^{3^n}+1=9\) chia hết cho $3$

Xét \(n=2\Rightarrow 2^{3^n}+1=513\) chia hết cho $9$

........

Giả sử điều trên đúng với $n=k$. Ta cần cm nó cũng đúng với $n=k+1$, tức là \(2^{3^{k+1}}+1\vdots 3^{k+1}\)

Thật vậy:

Với giả sử trên, ta có \(2^{3^k}+1\vdots 3^k\)

Có: \(2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k})^3+1=(2^{3^k}+1)(2^{3^k.2}-2^{3^k}+1)\)

Thấy rằng \(2^{3^k}+1\vdots 3^k\)

\(\left\{\begin{matrix} 2^{2.3^k}=4^{3^k}\equiv 1^{3^k}\equiv 1\pmod 3\\ 2^{3^k}\equiv (-1)^{3^k}\equiv -1\pmod 3\\ 1\equiv 1\pmod 3\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{2.3^k}-2^{3^k}+1\equiv 3\equiv 0\pmod 3\)

Hay \(2^{2.3^k}-2^{3^k}+1\vdots 3\)

Suy ra \(2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k}+1)(2^{2.3^k}-2^{3^k}+1)\vdots 3^{k+1}\)

Do đó ta có đpcm.