Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(ac=-3< 0\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\Leftrightarrow\dfrac{x_1^3+x_2^3}{\left(x_1x_2\right)^2}=m-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{9}=m-1\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+18\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\8\left(m-1\right)^2+9=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)
a) Tam thức bậc hai có \(\Delta'=m^2-m+4=m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+4=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\).
Suy ra phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo Vi-et ta có:
\(x_1+x_2=2m,x_1.x_2=m-4\)
Điều kiển để \(x_1+x_2=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2=\frac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2}\)
\(\Leftrightarrow2m=\frac{\left(2m\right)^3-3\left(m-4\right).2m}{m-4}\)
\(\Leftrightarrow2m\left(m-4\right)=8m^3-6m^2+8m\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow4m\left(2m^2-2m+3\right)=0\) và \(m\ne4\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
a: Δ=(-2m)^2-4(m-2)
=4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>=7>0
=>PT luôn có hai nghiệm phân biệt
b: x1^2+x2^2-6x1x2
=(x1+x2)^2-8x1x2
=(2m)^2-8(m-2)
=4m^2-8m+16=(2m-2)^2+8>=8
=>24/(2m-2)^2+8<=3
=>M>=-3
Dấu = xảy ra khi m=1
a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0
Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb
b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)
Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)
Bạn ơi, mình có thể hỏi câu c được không ạ? Nếu không được thì không sao, mình cảm ơn câu trả lời của bạn ạ ^-^ chúc bạn một ngày tốt lành nhé.
\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=m\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)^2+10\left(x^2+5x\right)+24-m=0\)
Phương trình trên là một phương trình bậc 4, mà lại có 4 nghiệm, nên nếu xem nó là một phương trình bậc 2 theo ẩn \(t=x^2+5x\); \(t^2+10t+24-m=0\), thì phương trình này phải có 2 nghiệm \(t_1;t_2\) sao cho mỗi phương trình
\(x^2+5x=t_1;\text{ }x^2+5x=t_2\)đều có 2 nghiệm phân biệt, lần lượt là \(x_1;\text{ }x_2;\text{ }x_3;\text{ }x_4\)
\(x^2+5x-t_1=0\Rightarrow x_1.x_2=-t_1\)
\(x^2+5x-t_2=0\Rightarrow x_3.x_4=-t_2\)
\(t^2+10t+24-m=0\Rightarrow t_1.t_2=24-m\)
\(\Rightarrow x_1.x_2.x_3.x_4=24-m\)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2;x_3;x_4\)thì phương trình đó viết được dưới dạng \(\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)=0\)(1)
Phương trình (1) có hệ số tự do là \(x_1x_2x_3x_4\)= hệ số tự do của phương trình đề bài = 24-m (ĐPCM).
Đặt t = x2 (t \(\ge\) 0). Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t2 - 2(m2 + 2).t + m4 + 3 = 0 (*)
\(\Delta\)' = (m2 +2)2 - (m4 + 3) = m4 + 4m2 + 4 - m4 - 3 = 4m2 + 1 > 0
=> (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là t1; t2
Theo hệ thức Vi - et ta có: t1 + t2 = 2(m2 + 2) > 0
t1. t2 = m4 + 3 > 0
=> t1 > 0 và t2 > 0 (thỏa mãn điều kiện của t)
vậy (*) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt => pt đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3; x4
trong đó x1; x2 thỏa mãn x12 = x22 = t1; x32 = x24 = t2 ; x1; x2 đối nhau ; x3; x4 đối nhau
=> \(x_1^2+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=2t_1+2t_2+\left(-x_1^2\right).\left(-x_2^2\right)=2.\left(t_1+t_2\right)+t_1.t_2\)
= 2.2.(m2 + 2) + m4 + 3 = m4 + 4m2 + 11