Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).
\(\left(b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).
\(\left(c+a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:
\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).
Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)
Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm
nguyễn hồng quân đấy là phim hành động nhé chứ không phải phim hoạt hình nhé bạn !!!
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-\left(2ab+2bc+2ca\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) (1)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-a\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\)
Nên (1) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
Bình phương 2 vế ta được
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac
Lấy VT trừ VP ta được
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
=>a=b=c=0
Ta có: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
a2+b2+c2\(\ge\) ab + bc + ca
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ba-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (BĐT đúng)
Do đó \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) là BĐT đúng.
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Ta có: (a-b)2 ≥ 0 <=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0 <=> a2 + b2 ≥ 2ab (1)
Tương tự: b2 + c2 ≥ 2bc (2) và a2 +c2 ≥ 2ac (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế: 2a2 +2b2 +2c2 ≥ 2ab +2bc +2ca
Vậy: a2 +b2 +c2 ≥ ab +bc +ca (chia 2 vế cho 2)