Question

[Nguyen Vu Thai Son]

Chứng minh 1a....a1 chia hết cho 11

Answer 1

[Fan của Doraemon]

Ta có: $3^{2^{4n+1}}+2$ = $3^{2^{4n+1}}-3^2+11$. 

Lại có: $3^{2^{4n+1}}-3^2=3^2(3^{2^{4n+1}-2}-1)$ = $3^2(3^{2(2^{4n}-1)}-1)$

Áp dụng định lý Fecmat nhỏ cho ta $3^{10}\equiv 1\left(mod11\right)$,        (1)

Đến đây, dễ thấy $2^{4n}-1⋮2$ và $2^{4n}-1=(2^4{)}^n-1⋮5$

mà $(2,5)=1$ nên $2^{4n}-1⋮10$                                            (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay $3^{2(2^{4n}-1)}-1⋮3^{10}-1⋮11$

Vậy $3^{2^{4n+1}}+2⋮11$.