![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có bất đẳng thức phụ sau
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) với mọi \(x,\) \(y,\) \(z\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) \(\left(\text{*}\right)\)
Vì \(x+y+z=1\) (theo giả thiết) nên từ \(\left(\text{*}\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{x+1}{y^2+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}=x+1-\frac{1}{2}\left(xy+y\right)\)
Thiết lập tương tự và cộng lại ta được:
\(VT\ge x+y+z+3-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)\)
\(VT\ge6-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx+3\right)=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(VT\ge\frac{9}{2}-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{9}{2}-\frac{9}{6}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2
⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1
⇒x2+y2+z2≥13⇒x2+y2+z2≥13
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=13x=y=z=13
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2
⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2
⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1
⇒4x2+y2≥15⇒4x2+y2≥15
Đẳng thức xảy ra khi x=y=15x=y=15
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)
Đáp án: Tay phải.
Đúng không
cái j vậy ba