Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{4}{x^2+7}=\frac{4}{x^2+1+y^2+1+z^2+1+x^2+1}\le\frac{4}{4x+2y+2z}=\frac{2}{2x+y+z}\)
đến đây tự làm nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{4\left(x^5-x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}+1=\frac{5x^5-4x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^5+\left(2x^5+y^2+z^2-4x^2\right)}{x^5+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3x^5+4\sqrt[4]{x^{10}y^2z^2}-4x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3x^5}{x^5+y^2+z^2}=\frac{3x^4}{x^4+\frac{y^2+z^2}{x}}\ge\frac{3x^4}{x^4+yz\left(y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^4}{x^4+y^4+z^4}\)
suy ra: \(\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
tương tự ta có: \(\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{y^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
\(\frac{z^5-z^2}{z^5+y^2+x^2}\ge\frac{3}{4}.\frac{z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế ta được:
\(VT\ge\frac{3}{4}.\frac{x^4+y^4+z^4}{x^4+y^4+z^4}-\frac{3}{4}=0\)
Vậy BĐT đc c/m
p/s: bài này mk cx k chắc (nhờ bn ktra nó kêu cứ sai sai nên mk cx k rõ) bạn tham khảo, sai đâu ib cho mk nhé
thân ái!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2=50\left(2\right)\\x^7+y^7+z^7=350\left(3\right)\end{cases}}\)
Bình phương (1), kết hợp với (2) ta được:
\(xy+yz+zx=-25\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\)thay vào (3) ta được:
\(x^7+y^7-\left(x+y\right)^7=350\)
\(\Rightarrow-xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=50\left(5\right)\)
Lại thay \(z=-\left(x+y\right)\)vào (4) ta được:
\(x^2+xy+y^2=25\left(6\right)\)
Kết hợp (5) và (6) ta được: \(xyz=2\)
Vậy cần tìm x,y,z thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x+y+z=0\\xy+yz+zx=-5\\xyz=2\end{cases}}\)
Vậy x,y,z là 3 nghiệm của pt \(t^3-5t-2=0\)
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là:
\(\left(x;y;z\right)=\left(-2;1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right)\) và các hoán vị của nó
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề bài ko đúng bạn
\(x^2+y^2+z^2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=0\)
Ko phù hợp pt thứ 3