![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giải:
Dùng biến đổi tương đương chứng minh được:
\(\left(x^2+x+2\right)^2=x^4+5x^3+4x+4>x^4+2x^3+2x^2+x+3>\) \(x^4+2x^3+x^2=\left(x^2+x\right)^2\)
\(\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=\left(x^2+x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)
Vậy \(x=1\) hoặc \(x=-2\) thì phương trình trên là số chính phương
dùng phương pháp hệ số bất định ý bạn gọi đa thức đó là bình phương của đa thức (x^2+ax+b)^2 rồi khai triển là ok
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt: \(t^2=x^2+x+6\)
=> \(4t^2=4x^2+4x+24=\left(2x+1\right)^2+23\)
=> \(4t^2-\left(2x+1\right)^2=23\)
<=> \(\left(2t-2x-1\right)\left(2t+2x+1\right)=23\)
Chia các trường hợp: => x và t
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = x^4 - x^2 + 2x + 2 = (x^4 - x^2) + (2x + 2)
= x^2(x^2 - 1) + 2(x + 1) = x^2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x^3 - x^2 + 2)
= (x + 1)[(x^3 + 1) - (x^2 - 1)]
= (x + 1)[(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x - 1)(x + 1)]
= (x + 1)^2.(x^2 - 2x + 2)
= (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1]
Với x = - 1 => A = 0 (nhận)
Với x # -1
Ta có : A = k^2 với k là số tự nhiên
=> (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1] = k^2
=> (x - 1)^2 + 1 phải là số chính phương
=> (x - 1)^2 + 1 = m^2 (với m là số tự nhiên và m^2 >= 1<=> m > 0)
<=> (x - 1)^2 - m^2 = - 1
<=> (x - 1 - m)(x -1 + m) = -1 = 1.(-1)
Vì m > 0 => x - 1 + m > x - 1 - m
x , m nguyên => x - 1 - m và x - 1 + m là số nguyên
=> x - 1 + m = 1 và x - 1 - m = -1
<=> x + m = 2 và x - m = 0
<=> x = m = 1
=> A = 1^4 - 1^2 + 2.1 + 2 = 4 là số chính phương vói x = 1
Vậy x = 1 và x = -1 thì A là số chính phương
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A là số chính phương, suy ra
\(x^2-6x+6=k^2\) \(\left(k\inℕ\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2-3=k^2\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2-k^2=3\Leftrightarrow\left(x-3-k\right)\left(x-3+k\right)=3\)
Vì \(x;k\inℕ\Rightarrow x-3-k< x-3+k\)nên ta có các trường hợp sau
\(\hept{\begin{cases}x-3-k=1\\x-3+k=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\left(tm\right)\\k=1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x-3-k=-3\\x-3+k=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\left(ktm\right)\\k=1\end{cases}}}\)
Vậy x=5 thì giá trị biểu thức A là số chính phương
x = 2 thoả mãn x^2 + x + 43 là số chính phương