LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 6 2018
Bài 1. Ta có : \(xy+\dfrac{1}{xy}=16xy-15xy+\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(x+y\) ≥ \(2\sqrt{xy}\)
⇔ \(\left(x+y\right)^2\) ≥ \(4xy\)
⇔ \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\) ≥ xy
⇔ - 15xy ≥ \(\dfrac{1}{4}.\left(-15\right)=\dfrac{-15}{4}\)
CMTT , \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) ≥ \(2\sqrt{16xy.\dfrac{1}{xy}}=2.\sqrt{16}=8\)
⇒ \(16xy+\dfrac{1}{xy}\) - 15xy ≥ \(8-\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
HN
Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1.
CMR : \(\dfrac{1-x^2}{x+yz}+\dfrac{1-y^2}{y+zx}+\dfrac{1-z^2}{z+xy}\ge6\)
0
JG
0
NQ
4
17 tháng 6 2016
Trả lời nhanh nha các bn, mik đang cần gấp, cảm ơn nhiều.
PN
17 tháng 6 2016
Kết hợp với giả thiết nêu ra ở đề bài, ta có vài biến đổi sau:
\(\frac{x}{y^3-1}=\frac{x}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}=\frac{x}{\left[y-\left(x+y\right)\right]\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{1}{y^2+y+1}\) \(\left(1\right)\)
\(\frac{y}{x^3-1}=\frac{y}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{y}{\left[x-\left(x+y\right)\right]\left(x^2+x+1\right)}=-\frac{1}{x^2+x+1}\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, ta lại có: \(\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)=x^2y^2+xy^2+y^2+x^2y+xy+y+x^2+x+1\)
\(=x^2y^2+\left[x^2+xy\left(x+y\right)+xy+y^2\right]+\left(x+y\right)+1=x^2y^2+\left(x+y\right)^2+2=x^2y^2+3\)
Khi đó, trừ đẳng thức \(\left(1\right)\) cho đẳng thức \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}=\frac{\left(y-x\right)\left(x+y+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
Vậy, \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=-\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
31 tháng 10 2021
\(xy\ne0,x,y\ne1\)
\(A=\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}+\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(xét:\dfrac{2\left(x+y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2}{x^2y^2+3}\left(1\right)\)
\(\dfrac{x^{ }}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}=\dfrac{x^4-x-y^4+y}{\left(x^3-1\right)\left(y^3-1\right)}\left(2\right)\)
\(xét:\) \(x^4-x-y^4+y=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3-1\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)-1\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(1-3xy+xy-1\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(-2xy\right)=-2xy\left(x-y\right)=2xy\)
\(xét\) \(\left(y^3-1\right)\left(x^3-1\right)=x^3y^3-\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+1\)
\(=x^3y^3-\left(1-3xy\right)+1=x^3y^3+3xy=xy\left(x^2y^2+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow A=\dfrac{2}{x^2y^2+3}-\dfrac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=\dfrac{2-2x+2y}{x^2y^2+3}\ne0\left(đề-sai\right)\)
KM
1
I
13 tháng 4 2020
Áp dung BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)
\(=>x,y,z>0\left(taco\right)\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+xz}\)
\(=>P\ge\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)+\frac{7}{xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{21}{\left(x+y+z\right)^2}\ge30\)
do \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2and\left(x+y+z=1\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
zậy...........
LM
2
7 tháng 10 2016
Ta có \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\ge\frac{1}{1+xy}-\frac{1}{1+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{1+y^2-1-xy}{\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)}\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\ge\frac{y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}\left(\frac{x}{1+x^2}-\frac{y}{1+y^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{x+y^2x-y-yx^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{y-x}{1+xy}.\frac{\left(y-x\right)\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y > 1)
Vậy ta có đpcm
NK
2
LC
25 tháng 9 2018
với 2 số dương a,b ta luôn có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\):\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Áp dụng vào bài toán, ta có
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{2xy}\)
\(=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{2}{4xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)(vì x+y=1)
25 tháng 9 2018
Ta có: x2+y2≤(x+y)2/2 => 1/(x2+y2)≥2/(x+y)2=2
xy≤(x+y)2/4 => 1/xy≥4/(x+y)2=4
=>1/(x2+y2)+1/xy≥2+4=6
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2