K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 9 2020

Vì BC có độ dài lớn nhất nên đề bài tương đương với: \(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}=\sqrt[3]{BC^2}\)(Định lí Pythagoras đảo)

Lập phương 2 vế: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

Ôn lại các hệ thức lượng cho tam giác vuông vì sắp tới mình sẽ dùng 1 chuỗi hệ thức đấy:

+Tam giác AHD vuông tại H, đường cao DH: \(AH^2=AD.AB,BH^2=BD.BA\)

+Tam giác AHC vuông tại H, đường cao EH: \(AH^2=AC.AE,CH^2=CA.CE\)

+Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH: \(AH^2=HB.HC,AH.BC=AB.AC,BC^2=AB^2+AC^2\)

$ ADHE là hình chữ nhật nên AD=HE

$ Tam giác AHE vuông tại H nên \(AH^2=AE^2+HE^2\)

Ok, giờ triển thoi: \(BD^2+EC^2+3\sqrt[3]{\left(BD.EC\right)^2}\left(\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{EC^2}\right)=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AD\right)^2+\left(AC-AE\right)^2+3\sqrt[3]{\left(BD.CE\right)^2}.\sqrt[3]{BC^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(AB^2+AC^2\right)+\left(AD^2+AE^2\right)-2\left(AB.AD+AC.AE\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+\left(AE^2+HE^2\right)-2\left(AH^2+AH^2\right)+3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2-4AH^2-3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=0\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(BD.CE.BC\right)^2}=3AH^2\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC=AH^3\)

\(\Leftrightarrow BD.CE.BC.AH=AH^4\)

\(\Leftrightarrow\left(BD.BA\right)\left(CE.CA\right)=AH^4\)

\(\Leftrightarrow BH^2.CH^2=AH^4\Leftrightarrow BH.CH=AH^2\)---> Luôn đúng

Vậy giả thiết đúng.

(Bài dài giải mệt vler !!)

11 tháng 6 2018

A B C E F D H I K G

Gọi hình chiếu của B và C trên đường thẳng EF lần lượt là G và K

Ta có: AE và AF là 2 tiếp tuyến của (I) => AE=AF => \(\Delta\)EAF cân đỉnh A

=> ^AEF=^AFE => ^GEB=^KFC (2 góc đối đỉnh)

=> \(\Delta\)BGE ~ \(\Delta\)CKF (g.g) => \(\frac{BE}{CF}=\frac{GE}{KF}\)

Mà \(\frac{BE}{CF}=\frac{BD}{CD}\)(Vì BE=BD và CF=CD theo t/c tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GE}{KF}\). Lại có: Tứ giác BGKC là hình thang có DH//BG//CK

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{GH}{KH}=\frac{GE}{KF}=\frac{GH-GE}{KH-KF}=\frac{EH}{FH}\)(T/c dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

Xét \(\Delta\)BEH và \(\Delta\)CFH: ^BEH=^CFH (Bù 2 góc ^AEF và ^AFE bằng nhau); \(\frac{BE}{CF}=\frac{EH}{FH}\)

=> \(\Delta\)BEH ~ \(\Delta\)CFH (c.g.c) => ^BHE=^CHF => 900 - ^BHE = 900 - ^CHF

=> ^BHD=^CHD => HD là phân giác ^BHC (đpcm).

11 tháng 6 2018

cảm ơn bạn nha,chắc cũng là trùm toán chứ nhỉ

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

Xét tư sgiác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)