Question

[bad end night]

cho tam giac ABC vuông tại C,BF và AE là 2 trung tuyến,r là bán kính đường tròn nội tiếp với AE=m,BF=n.Chứng minh rằng \(\frac{r^2}{m^2+n^2}< \frac{1}{20}\)

tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{r^2}{m^2+n^2}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Đặt AB = c , AC = b , BC = a . 

• Ta có : \(CE^2=AC^2+AE^2;BF^2=AB^2+AF^2\)

\(\Rightarrow BF^2+CE^2=AB^2+AC^2+\left(AE^2+AF^2\right)=AB^2+AC^2+EF^2\)

\(=AB^2+AC^2+\left(\frac{1}{2}BC\right)^2=BC^2+\frac{BC^2}{4}=\frac{5}{4}BC^2\)\(\Rightarrow m^2+n^2=\frac{5a^2}{4}\)

Lại có : \(S_{\Delta ABC}=p.r=\frac{a+b+c}{2}.r\Rightarrow\frac{ab}{2}=\frac{\left(a+b+c\right).r}{2}\) \(\Rightarrow r=\frac{ab}{a+b+c}\)

Mặt khác ta lại có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\) , \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab>a^2+b^2\)

\(\Rightarrow a+b>\sqrt{a^2+b^2}\) \(\Rightarrow a+b+\sqrt{a^2+b^2}>2\sqrt{a^2+b^2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}< \frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2}}\)

Ta có : \(r=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}< \frac{a^2+b^2}{4\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{4}=\frac{c}{4}\) 

\(\Rightarrow r^2< \frac{c^2}{16}\Rightarrow\frac{r^2}{m^2+n^2}< \frac{c^2}{16}.\frac{4}{5c^2}=\frac{1}{20}\) . Vậy \(\frac{r^2}{m^2+n^2}< \frac{1}{20}\)

• Ta có : \(c^2=a^2+b^2\ge2ab\) 

\(\Rightarrow\frac{r^2}{c^2}=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right).c^2}\le\frac{a^2b^2}{2ab\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)}=\frac{ab}{2\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)}\)

\(\le\frac{ab}{4ab\left(1+\sqrt{2}\right)^2}=\frac{1}{4\left(1+\sqrt{2}\right)^2}\) \(\Rightarrow\frac{4r^2}{5c^2}\le\frac{1}{5\left(1+\sqrt{2}\right)^2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{r^2}{m^2+n^2}\le\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\). Vậy Max \(\left(\frac{r^2}{m^2+n^2}\right)=\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow\)tam giác ABC vuông cân tại A.

Answer 2

[bad end night]

Mắt bn có vấn đề à? Tam giác ABC vuong tại C mà?