Question

[Nhân]

Cho tam giác ABC vuông tại A, ẻ đường cao AH ( H \(\in\)BC), biết AB=9cm, AC=12cm. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC.

a. CMR: \(\Delta AMN\sim\Delta ABC\)

b. Tính BC, AH?

c. Qua N kẻ NP // AB (P\(\in\)BC). Chứng minh rằng \(\dfrac{S_{NPC}}{S_{ABC}}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên:

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\)

Xét tam giác $AMN$ và $ABC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMN\sim \triangle ABC\) (c.g.c)

b)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\) (cm)

Ta có:

\(\frac{AB.AC}{2}=S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2\) (cm)

c)

Vì \(NP\parallel AB\) nên áp dụng định lý Ta-lét ta có:

\(\frac{NP}{AB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{2}\Rightarrow NP=\frac{AB}{2}; NC=\frac{AC}{2}\)

Mặt khác, \(NP\parallel AB, AB\perp AC\Rightarrow NP\perp AC\)

Do đó:

\(S_{NPC}=\frac{NP.NC}{2}=\frac{\frac{AB}{2}.\frac{AC}{2}}{2}=\frac{AB.AC}{8}\)

\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{S_{NPC}}{S_{ABC}}=\frac{AB.AC}{8}: \frac{AB.AC}{2}=\frac{1}{4}\)