Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(AM=\dfrac{1}{2}AC=10\left(cm\right)\)
Kẻ \(MD\perp AB\Rightarrow MD=8\left(cm\right)\)
Kẻ \(CH\perp AB\Rightarrow MD||CH\Rightarrow\) MD là đường trung bình tam giác ACH
\(\Rightarrow MD=\dfrac{1}{2}CH\Rightarrow CH=2MD=16\left(cm\right)\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ACH:
\(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=12\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow H\) đồng thời là trung điểm AB
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại C
b.
Do tam giác ABC cân tại C \(\Rightarrow O\in CH\)
Kéo dài CH cắt đường tròn tại E (E khác C) \(\Rightarrow CE\) là đường kính
\(\Rightarrow\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay tam giác CAE vuông tại A
Áp dụng hệ thức lượng:
\(AC^2=CH.CE\Rightarrow CE=\dfrac{AC^2}{CH}=25\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{1}{2}CE=12,5\left(cm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta thấy ^AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB nên ^AMB = 900
Khi đó tứ giác EHBM có ^EMB + ^EHB = 900 + 900 = 1800 => Tứ giác EHBM nội tiếp (đpcm).
b) Tương tự câu a thì ^ACB = 900 => \(\Delta\)ABC vuông tại C có đường cao CH
=> AC2 = AH.AB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (đpcm).
Có ^ACE = ^ACH = ^ABC (Cùng phụ ^BCH) = ^AMC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét \(\Delta\)AEC và \(\Delta\)ACM: ^ACE = ^AMC (cmt), ^CAE = ^MAC (góc chung)
=> \(\Delta\)AEC ~ \(\Delta\)ACM (g.g) => \(\frac{AC}{AM}=\frac{CE}{MC}\)=> AC.MC = AM.CE (đpcm).
c) Gọi I là tâm ngoại tiếp của \(\Delta\)CEM. Trước hết ta chỉ ra điểm I thuộc đường thẳng BC.
Thật vậy: Vì (I) ngoại tiếp \(\Delta\)CEM nên \(\Delta\)EIC cân tại I
=> ^ICE = 900 - ^EIC/2 = 900 - ^EMC = 900 - ^ABC = ^HCB = ^ECB
Do I,B nằm cùng phía so với CE nên hai tia CI,CB trùng nhau hay B,I,C thẳng hàng
Khi đó điểm I di chuyển trên đường thẳng BC. Gọi HP vuông góc BC tại P
Vì khoảng cách từ H đến I là IH nên HI < HP. Do C,B,H cố định nên HP không đổi
Vậy Max IH = HP = const.
Cách dựng điểm M thỏa mãn đề:
B1: Dựng HI vuông góc với BC tại I
B2: Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC cắt (O) và CH lần lượt tại M0 và E
Lúc này, I là tâm ngoại tiếp của tam giác CEM và M0 là điểm M cần tìm.
Sửa: IH > HP và Min IH = PH = const. Mình nhầm dấu chút xíu :D
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
=>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
(Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trên BC lấy I sao cho IC=IB
Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm
Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm
Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH2= AM2 - MH2 = 102 - 82= 36 ----> AH=6 cm
có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)
Từ I kẻ IK vuông góc AB
có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB)
---> MIKH là hình bình hành
---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm
BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm
Xét tam giác AMH và tam giác BIK:
AH=BK=6
góc AHM= góc BKI= 90O
MH=IK=8
----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)
----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA
----> tam giác ABC cân tại C
b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)
----> AM=MC=IB=IC=10 cm
Kéo dài CO cắt AB tại D
tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O
có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90o
Tương tự với tam giác OCB được OI vuông góc BC hay góc OIC=90o
Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:
MC=IC=10cm
OC cạnh chung
--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)
--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->
CD vuông góc AB hay góc ADC=90oAD=BD=AB/2 = 12 cm
Theo Pytago trong tam giác ACD: CD2= AC2-AD2 = 202-122 =256 ---> CD=16 cm
Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X
Theo Pytago tam giác AOD: AO2= OD2+AD2
<-->X2= (16-X)2 + 122
<--> 162 -32X + X2 +122 - X2=0
<--> 400 - 32X=0
<--> X= -400/-32= 12,5 cm
Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1.
Gọi cạnh tam giác ABC là a
\(S_{ABC}=S_{AMB}+S_{BMC}+S_{AMC}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}ax+\dfrac{1}{2}ay+\dfrac{1}{2}az\\ \Leftrightarrow x+y+z=h\)
Lại có \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=h^2\left(bunhia\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}h^2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow M\) là giao 3 đường p/g của \(\Delta ABC\)