Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:
ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3
Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:
ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3
Simplifying the expression, we get:
ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²
Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Áp dụng định lý sin ta được :
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinC=\dfrac{c}{2R}\\sinB=\dfrac{b}{2R}\\sinA=\dfrac{a}{2R}\end{matrix}\right.\)
VT = \(\dfrac{a^2}{2R}+\dfrac{b^2}{2R}+\dfrac{c^2}{2R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}\)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\\....\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VP=\dfrac{b^2+c^2+c^2+a^2+a^2+b^2-\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{c^2}{2}}{3R}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2R}=VT\)
=> ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ÁP dụng BĐT Bunhia:
\(\left(m_a+m_b+m_c\right)^2\le3\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=\frac{9}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow m_a+m_b+m_c\le\frac{3}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(ab+ac+bc\right)}{abc}\ge\frac{2}{3}\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Áp dụng BĐT Cosi:
\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: Xét ΔCAB có \(cosC=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)
=>\(\dfrac{2^2+3-AB^2}{2\cdot2\cdot\sqrt{3}}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(7-AB^2=4\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot3=6\)
=>AB=1
b: Xét ΔABC có \(AB^2+BC^2=CA^2\)
nên ΔABC vuông tại B
=>\(S_{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Độ dài đường trung tuyến kẻ từ A là:
\(m_A=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{4+1}{2}-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
Sơ lược cách giải thôi nhé, bạn tự thay vào tính, mấy bài toàn căn với số thế này làm biếng tính toán hết ra lắm:
D là trọng tâm tam giác, gọi M là trung điểm AC; N là trung điểm AB
Theo tính chất trọng tâm: \(BD=\frac{2}{3}m_b=4\) ; \(CD=\frac{2}{3}m_c=6\)
\(DN=m_c-CD=3\) ; \(DM=m_b-BD=2\)
\(cos\widehat{BDC}=cos120^0=\frac{CD^2+BD^2-BC^2}{2BD.CD}\Rightarrow a=BC=...\)
\(cos\widehat{CDM}=cos60^0=\frac{DM^2+CD^2-CM^2}{2DM.CD}\Rightarrow CM=...\Rightarrow b=2CM=...\)
\(cos\widehat{BDN}=cos60^0=\frac{DN^2+BD^2-BN^2}{2DN.BD}\Rightarrow BN=...\Rightarrow c=2BN=...\)