Question

[zZ Hoa Tử “Dka KLD” Zz]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AB=AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC

a)CM: tam giác ABM = tam giác ACM

b)Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA=ME. CM: AC//BE

c) kẻ BH vuông góc với AC tại H, kẻ CK vuông góc với BE tại K. CM góc ABH= góc ECK

d)CM:Mlà trung điểm của HK

Answer 1

[.]

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

a) Vì M là trung điểm của đoạn thẳng BC (gt)

nên BM = CM

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:

\(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(gt\right)\\AMchung\\BM=CM\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)   (đpcm)

b) Xét \(\Delta ACM\) và \(\Delta BEM\) có:

EM = AM (gt)

\(\widehat{BME}=\widehat{AMC}\) (2 góc đối đỉnh)

BM = CM (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ACM=\Delta EBM\left(c.g.c\right)\)

 \(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{ACM}\) (2 góc tương ứng)

Mà góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow AC//BE\) (dấu hiệu nhận biết)   (đpcm)

c) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CEM\) có:

AM = EM (gt)

\(\widehat{CME}=\widehat{AMB}\) (2 góc đối đỉnh)

BM = CM (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ECM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\) AB = CE (2 cạnh tương ứng)

        \(\widehat{ABM}=\widehat{ECM}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat{ABC}=\widehat{BCE}\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\hept{\begin{cases}AB=CE\left(cmt\right)\\\widehat{BCE}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\\BCchung\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABC=\Delta BCE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{BAC}\) (2 góc tương ứng) 

hay \(\widehat{CEK}=\widehat{BAH}\)

Ta có: CK _|_ BE tại K (gt)

           BH _|_ AC tại H (gt)

\(\hept{\begin{cases}\widehat{CKE}=90^o\\\widehat{AHB}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\widehat{CKE}=\widehat{AHB}=90^o\)

Xét \(\Delta CEK\) và \(\Delta ABH\)có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{CKE}=\widehat{AHB}=90^o\left(cmt\right)\\AB=CE\left(cmt\right)\\\widehat{CEK}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta CEK=\Delta BAH\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ECK}\) (2 góc tương ứng)   (đpcm)

d) Gọi giao điểm của EM và CK là P, của BH và AM là Q

Ta có: \(\widehat{BEM}=\widehat{CAM}\) (vì \(\Delta ACM=\Delta EBM\))  \(\Rightarrow\widehat{KEP}=\widehat{HAQ}\)

Ta có: \(\widehat{CKE}=\widehat{AHB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EKP}=\widehat{AHQ}\)

Xét \(\Delta EKP\) và \(\Delta AHQ\) có:

\(\widehat{KEP}=\widehat{HAQ}\left(cmt\right)\)

EK = AH (vì \(\Delta CEK=\Delta BAH\))

\(\widehat{EKP}=\widehat{AHQ}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EKP=\Delta AHQ\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow KP=HQ\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có: BE = AC (vì \(\Delta BEM=\Delta CAM\))

            EK = AH (cmt)

Mà \(\hept{\begin{cases}BE=BK+EK\\AC=CH+AH\end{cases}}\Rightarrow BK=CH\)

Vì BE // AC (cmt)

nên \(\widehat{BKH}=\widehat{CHK}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta CHK\) có: 

\(\hept{\begin{cases}BK=CH\left(cmt\right)\\\widehat{BKH}=\widehat{CHK}\left(cmt\right)\\HKchung\end{cases}}\Rightarrow\Delta BHK=\Delta CKH\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BHK}=\widehat{CKH}\) (2 góc tương ứng)

hay \(\widehat{MHQ}=\widehat{MKP}\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow BH//CK\) (dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow\widehat{KPQ}=\widehat{HQP}\) (2 góc so le trong)

hay \(\widehat{HQM}=\widehat{KPM}\)

Xét \(\Delta KMP\) và \(\Delta HMQ\) có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HQM}=\widehat{KPM}\left(cmt\right)\\KP=HQ\left(cmt\right)\\\widehat{MHQ}=\widehat{MKP}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta KMP=\Delta HMQ\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\)KM = HM (2 cạnh tương ứng)  (*)

        \(\widehat{KMP}=\widehat{HMQ}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{HMQ}+\widehat{HMP}==180^o\) (2 góc kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{KMP}+\widehat{HMP}=180^o\)

hay \(\widehat{HMK}=180^o\)

\(\Rightarrow\)3 điểm M, H, K thẳng hàng  (**)

Từ (*), (**)

\(\Rightarrow\) M là trung điểm của HK   (đpcm)