Question

[Nguyễn Quang Minh A]

Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H,K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến các cạnh AB, AC. Chứng minh MH=MK.

 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)BC và AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Gọi O là trung điểm của AD

=>O là tâm đường tròn đường kính AD

Vì \(\widehat{AHD}=\widehat{AMD}=\widehat{AKD}=90^0\)

nên A,H,D,M,K cùng thuộc đường tròn đường kính AD

=>A,H,D,M,K cùng thuộc (O)

Xét (O) có

\(\widehat{MHK}\) là góc nội tiếp chắn cung MK

\(\widehat{MAK}\) là góc nội tiếp chắn cung MK

Do đó: \(\widehat{MHK}=\widehat{MAK}\)(2)

Xét (O) có

\(\widehat{MKH}\) là góc nội tiếp chắn cung MH

\(\widehat{MAH}\) là góc nội tiếp chắn cung MH

Do đó: \(\widehat{MKH}=\widehat{MAH}\left(2\right)\)

Ta có: AM là phân giác của góc BAC

=>\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{MHK}=\widehat{MKH}\)

=>ΔMHK cân tại M

=>MH=MK