Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}; B = a_{1}^3 + a_{2}^3 + \dots + a_{n}^3 \)
Ta có \(a_n^3-a_n=a_n\left(a_n^2-1\right)=a_n\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)⋮6\)(tích ba số nguyên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3)
Ta có \(B-A=a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)+a_2\left(a_2-1\right)\left(a_2+1\right)+...+a_n\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)\)
Suy ra \(B-A⋮6\)
=> A,B cùng chia hết cho 6 hoặc cùng không chia hết cho 6
=> nếu \(A⋮6\)thì \(B⋮6\)
=>ĐPCM
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
Ta chứng minh BĐT
( a + b + c ) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 ( * ) ( * ) < = > 3 + ( a b + b a ) + ( b c + c b ) + ( c a + a c ) ≥ 9
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
a b + b a ≥ 2 b c + c b ≥ 2 c a + a c ≥ 2 =>(*) đúng
= > 9 a + b + c ≤ 1 a + 1 b + 1 c ≤ 3 = > a + b + c ≥ 3
Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có 1 + b 2 ≥ 2 b
Ta có: a 1 + b 2 = a − a b 2 1 + b 2 ≥ a − a b 2 2 b = a − a b 2 ( 1 )
Tương tự ta có:
b 1 + c 2 ≥ b − b c 2 ( 2 ) c 1 + a 2 ≥ c − c a 2 ( 3 )
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 ≥ a + b + c − 1 2 ( a b + b c + c a ) = > a 1 + b 2 + b 1 + c 2 + c 1 + a 2 + 1 2 ( a b + b c + c a ) ≥ a + b + c ≥ 3
Bạn áp dụng cái này là được: \(a^3-a⋮3\)\(\forall a\in Z\)