K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 2 2020

Có: \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left[xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]^2=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y^2+x^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(1+x^2\right)+x^2\left(1+y^2\right)+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow\left[y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)\right]^2=2018\)

\(\Leftrightarrow y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)=\sqrt{2018}\)

hay \(A=\sqrt{2018}\)

22 tháng 11 2023

Ta có:

\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)

           \(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

Tương tự:

\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

TH1: x,y,z <0

\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)

TH2: x,y,z>0

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)

22 tháng 11 2023

Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)

\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)

\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)

 Tương tự như thế, ta được

\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)

 Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023

Lời giải:

$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1-xy$

$\Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)=(1-xy)^2$ (bp 2 vế)

$\Leftrightarrow x^2+y^2=-2xy$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=0\Leftrightarrow x=-y$.

Khi đó:

$M=(x+\sqrt{1+(-x)^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)$

$=1+x^2-x^2=1$

6 tháng 8 2016

đề sai

22 tháng 10 2017

ta có: xy+yz+zx=1

=> \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

c/m tương tự ta đc: \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)

                                \(1+z^2=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

thay vào A ta đc:

\(A=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\)\(\Rightarrow A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(\Rightarrow A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A=2\) vì xy+yz+zx=1

22 tháng 6 2016

nhận liên hợp ta có  \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)

mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)

tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)

trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y

đến đây ok rùi nhé bạn 

17 tháng 5 2018

a) Ta có : \(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)

b) \(\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\right)=\Sigma\left(x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\right)\)

\(=\Sigma\left(x\left(y+z\right)\right)=xy+xz+xy+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

14 tháng 9 2018

Bài này hình như x,y,z>0

Ta có: \(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{\left(x^2+xy+yz+zx\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(y+x\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}\)

Tương tự: \(y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}=y\sqrt{\left(x+z\right)^2}\) 

                \(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

Cộng từng vế, ta có: 

\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)\) 

\(\Leftrightarrow A=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

14 tháng 9 2018

\(\hept{\begin{cases}1+y^2=y^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=\left(z+x\right).\left(z+y\right)\\1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)

Thế vào \(A=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)

\(=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)

\(=2\left(\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|\right)\)

Nếu x,y,z\(\ge0\Rightarrow A=2\)

Nếu x,y,z\(< 0\)\(\Rightarrow A=-2\)