Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ờ thì AM-GM (là Cô si ko âm đây)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=2\cdot\frac{x}{2}=x\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P+\frac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge x+y+z\Leftrightarrow P\ge1\)
ĐẲng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Vậy \(P_{min}=1\) tại \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}.\frac{y+z}{4}}=x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^2}{z+x}.\frac{z+x}{4}}=y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=z\)
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được
\(A+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
Cách 2:Dù dài hơn Lê Tài Bảo Châu
\(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{x}{y+z}\)
\(\frac{y^2}{z+x}+y=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{y}{z+x};\frac{z^2}{x+y}+z=\left(x+y+z\right)\cdot\frac{z}{x+y}\)
Suy ra \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\)
Đến đây thay x+y+z=2 và BĐT netbitt là ra ( chứng minh netbitt nha )
Cách 3:
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(1+y^2\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\)
TT...
\(\Rightarrow Q=x+y+z+3-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{1+z^2}-\frac{x^2\left(1+z\right)}{1+x^2}\)
\(\ge6-\frac{y^2\left(x+1\right)}{2y}-\frac{z^2\left(y+1\right)}{2z}-\frac{x^2\left(z+1\right)}{2x}=6-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)
\(=6-\frac{3+xy+yz+xz}{2}\ge6-\frac{3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=6-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)
Vậy GTNN của Q là 3 khi x = y = z = 1
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)
\(\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)
\(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
đề sai
x=1, y=2, z=3, x+y+z=6. Cách giải thì mình không biết, nhưng chắc chắn bằng 6 đấy.