Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR: \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\le\frac{3}{2}\)
Ta có : a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + c ) ( a + b )
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a\left(a+b+c\right)-bc}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b\left(a+b+c\right)-ca}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c\left(a+b+c\right)-ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{3}{2}\)
\(\left(a^2+ab+ac-bc\right)\left(b+c\right)+\left(ab+b^2+bc-ac\right)\left(a+c\right)+\left(ac+bc+c^2-ab\right)\left(a+b\right)\le\frac{3}{2}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
khai triển ra , ta được :
\(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2+6abc\le\frac{3}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)+3abc\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{2}\left(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\right)\le-3abc\)
\(\Rightarrow a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge6abc\)( nhân với -2 thì đổi dấu )
\(\Rightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT lúc đầu đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{3}\)
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
bạn tham khảo nhé : https://olm.vn/hoi-dap/detail/222370673956.html
Mình nghĩ đề nên cho a,b,c dương nếu không thì từ từ mình suy nghĩ
Đặt \(P=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\)
Ta có:\(\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{a-bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{a-bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\frac{\left(a-bc\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a-bc\right)\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)
\(=\frac{a-a^2-bc+abc}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\frac{a-a^2-bc+abc}{1-a-b-c+ab+bc+ca-abc}=\frac{a-a^2-bc+abc}{ab+bc+ca-abc}\)
\(\Rightarrow P=\frac{a+b+c-a^2-b^2-c^2-ab-bc-ca+3abc}{ab+bc+ca-abc}\)
\(P=\frac{1-\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca+3abc}{ab+bc+ca-abc}\)
\(P=\frac{ab+bc+ca+3abc}{ab+bc+ca-abc}=1+\frac{4abc}{ab+bc+ca-abc}\)
Cần cm:\(\frac{4abc}{ab+bc+ca-abc}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)(đúng theo AM-GM)
"="<=>a=b=c=1/3
Với các số dương x; y ta có:
\(x^5+y^5=\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)-x^2y^2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x^5+y^5\ge xy\left(x+y\right).2xy-x^2y^2\left(x+y\right)=x^2y^2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}+\frac{bc}{b^2c^2\left(b+c\right)+bc}+\frac{ca}{c^2a^2\left(c+a\right)+ca}\)
\(P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(a+c\right)+abc}\)
\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng hệ thức quen thuộc của BĐT AM-GM là $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$
$\Rightarrow P=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\geq 1$
Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=b=c=1$
---------------------------
Tìm max:
Đặt $ab+bc+ac=t$
Ta có: \(P=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}{ab+bc+ac}=\frac{9-2(ab+bc+ac)}{ab+bc+ac}=\frac{9-2t}{t}=\frac{9}{t}-2(1)\)
Vì $a,b,c\leq 2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4(a+b+c)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq abc+4(a+b+c)-8=abc+4$
Mà $a,b,c\geq 0\Rightarrow abc\geq 0$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq abc+4\geq 4\Rightarrow t=ab+bc+ac\geq 2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\leq \frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$
Vậy $P_{\max}=\frac{5}{2}$ khi $(a,b,c)=(0,2,1)$ và hoán vị.
Huyền Subi: $a,b,c$ đều là số không âm thì làm sao mà giá trị min P lại âm được bạn? Hơn nữa, lớp 9 thì chưa học đạo hàm, nên lời giải này không có giá trị.