Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự chứng minh từng cái này rồi suy ra cái đó nhé b.
Ta có: \(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}\)
Tương tự ta suy ra:
\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}+3sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\left(1\right)\)
Tiếp theo chứng minh:
\(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{cosA+cosB+cosC-1}{2}\left(2\right)\)
\(sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}-\frac{cosA+cosB+cosC}{2}\left(3\right)\)
\(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy được điều phải chứng minh
\(cosa.sina=\frac{1}{5}\Rightarrow\frac{cosa.sina}{sin^2a}=\frac{1}{5sin^2a}=\frac{sin^2a+cos^2a}{5sin^2a}\)
\(\Rightarrow\frac{cosa}{sina}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\frac{cos^2a}{sin^2a}\)
\(\Rightarrow cota=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}cot^2a\)
\(\Rightarrow cot^2a-5cota+1=0\)
\(\Rightarrow cota=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\)
Câu 2:
\(\frac{cosa}{1-sina}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{\left(1-sina\right)\left(1+sina\right)}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{1-sin^2a}=\frac{cosa\left(1+sina\right)}{cos^2a}=\frac{1+sina}{cosa}\)
b/
\(\frac{\left(sina+cosa\right)^2-\left(sina-cosa\right)^2}{sina.cosa}\)
\(=\frac{sin^2a+cos^2a+2sina.cosa-\left(sin^2a+cos^2a-2sina.cosa\right)}{sina.cosa}\)
\(=\frac{4sina.cosa}{sina.cosa}\)
\(=4\)
a/ \(A=\frac{cot^2a-cos^2a}{cot^2a}-\frac{sina.cosa}{cota}\)
\(=\frac{\frac{cos^2a}{sin^2a}-cos^2a}{\frac{cos^2a}{sin^2a}}-\frac{sina.cosa}{\frac{cosa}{sina}}\)
\(=\left(1-sin^2a\right)-sin^2a=1\)
b/ \(B=\left(cosa-sina\right)^2+\left(cosa+sina\right)^2+cos^4a-sin^4a-2cos^2a\)
\(=cos^2a-2cosa.sina+sin^2a+cos^2a+2cosa.sina+sin^2a+\left(cos^2a+sin^2a\right)\left(cos^2a-sin^2a\right)-2cos^2a\)
\(=2+\left(cos^2a-sin^2a\right)-2cos^2a\)
\(=2-sin^2a-cos^2a=2-1=1\)
tạm thời chưa nghĩ ra cách dùng \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\) :'<
Có: \(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)}\)
\(=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\right]}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ư ư.. ra r :))))))))) cộng thêm Cauchy-Schwarz nữa nhé
Có: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right).\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=a+b\)
Tương tự cộng lại ra đpcm
Câu a đb như vậy cm sao được...
Gọi AB=c,BC=a,AC=b.Kẻ phân giác AD của góc A,kẻ BH vuông góc AD.
Dễ dàng cm được \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)
Từ đó suy ra \(\sin\frac{A}{2}.\sin\frac{B}{2}.\sin\frac{C}{2}\le\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\) (theo CAUCHY)
\(M=\frac{\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{cosa}}{\frac{sina}{cosa}-\frac{cosa}{cosa}}=\frac{tana+1}{tana-1}=\frac{\frac{3}{5}+1}{\frac{3}{5}-1}=...\)
\(N=\frac{\frac{sina.cosa}{cos^2a}}{\frac{sin^2a}{cos^2a}-\frac{cos^2a}{cos^2a}}=\frac{tana}{tan^2a-1}=...\) (thay số bấm máy)
\(P=\frac{\frac{sin^3a}{cos^3a}+\frac{cos^3a}{cos^3a}}{\frac{2sina.cos^2a}{cos^3a}+\frac{cosa.sin^2a}{cos^3a}}=\frac{tan^3a+1}{2tana+tan^2a}=...\)
Vì A; B; C là 3 góc của một tam giác
=> \(A+B+C=180^o\)
Ta có: \(\cos A+\cos B=2.\cos\frac{A+B}{2}.\cos\frac{A-B}{2}\le2.\cos\frac{180^o-C}{2}=2.\sin\frac{C}{2}\)
Tương tự: \(\cos A+\cos C\le2.\sin\frac{B}{2}\); \(\cos B+\cos C\le2.\sin\frac{A}{2}\)
=> \(9=5\cos A+6\cos B+7\cos C\)
\(=\left(3\cos A+3\cos C\right)+\left(2\cos A+2\cos B\right)+\left(4\cos B+4\cos C\right)\)
\(\le6.\sin\frac{B}{2}+4\sin\frac{C}{2}+8\sin\frac{A}{2}\)
Vì A; B; C là 3 góc của một tam giác => \(A;B;C< 180^o\)=> \(\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}< 90^o\)
=> \(0< \sin\frac{B}{2};\sin\frac{C}{2};\sin\frac{A}{2}< 1\)
Đặt: \(\sin\frac{B}{2}=y;\sin\frac{C}{2}=z;\sin\frac{A}{2}=x\)
Đưa về bài toán: \(0< x;y;z< 1\); \(8x+6y+4z\ge9\)
Chứng minh: \(x^2+y^3+z^4\ge\frac{7}{16}\)
Ta có: \(\left(x^2+\frac{1}{4}\right)+\left(y^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\left(z^4+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\right)\)
\(\ge x+\frac{3}{4}y+\frac{4z}{8}\)( theo cauchy)
=> \(x^2+y^3+z^4\ge\frac{1}{8}\left(8x+6y+4z\right)-\frac{11}{16}\ge\frac{9}{8}-\frac{11}{16}=\frac{7}{16}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1/2
<=> A = B = C = 600