TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$
$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$
$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:
$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$
$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a^2+ab+b^2)-2ab]$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab\geq 2ab+ab=3ab$
$\Rightarrow 2ab\leq \frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}$
$\Rightarrow a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab\geq a^2+b^2+ab- \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{1}{3}(a+b)(a^2+ab+b^2)$
$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế thu được:
$P\geq \frac{1}{3}(a+b)+\frac{1}{3}(b+c)+\frac{1}{3}(c+a)=\frac{2}{3}(a+b+c)$
$\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2$
Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 10 2021
\(a+b+c=0\) nên trong 3 số a;b;c phải có ít nhất 1 số dương
Do vai trò của 3 biến như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c>0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)=\left(-c\right)^3+c^3-3ab\left(-c\right)=3abc=-6\)
\(\Rightarrow F=\dfrac{ab+bc+ca-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{-6}=\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{-6}=\dfrac{ab+bc+ca}{-2}\)
\(=\dfrac{-\dfrac{2}{c}+c\left(a+b\right)}{-2}=\dfrac{-\dfrac{2}{c}+c\left(-c\right)}{-2}=\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^2}{8c^2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(F_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(-2;1;1\right)\) và các hoán vị
VT
3
15 tháng 3 2018
A- Tìm MAX (a^2 + b^2 + c^2)
Từ ab + bc + ca = 1 <=> ab + c(a + b) = 1 dễ thấy rằng nếu cho a và b những giá trị lớn bao nhiêu cũng được thì bao giờ cũng có 1 số c sao cho ab + bc + ca = 1 (chỉ cần chọn c = (1 - ab)/(a + b) ).Vì a và b lớn bao nhiêu cũng được nên a^2 + b^2 + c^2 cũng lớn bao nhiêu cũng được ---> không có GTLN
B- Tìm MIN (a^2 + b^2 + c^2) (làm luôn phần này vì có thể bạn chép sai đề)
a) Cách 1 : Theo BĐT Cauchy, ta có
...a^2 + b^2 >= 2ab
...b^2 + c^2 >= 2bc
...c^2 + a^2 >= 2ac
...---> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca) = 2
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (dấu bằng xảy ra khi a^2 = b^2 = c^2 = 1 và a = b = c <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (-căn 3)/3 )
Vậy MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3
b) Cách 2 : Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có
...(a^2 + b^2 + c^2)(b^2 + c^2 + a^2) >= (ab + bc + ca)^2
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca = 1 (dấu bằng xảy ra khi a/b = b/c = c/a <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3 )
...---> MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3
15 tháng 3 2018
A- Tìm MAX (a^2 + b^2 + c^2)
Từ ab + bc + ca = 1 <=> ab + c(a + b) = 1 dễ thấy rằng nếu cho a và b những giá trị lớn bao nhiêu cũng được thì bao giờ cũng có 1 số c sao cho ab + bc + ca = 1 (chỉ cần chọn c = (1 - ab)/(a + b) ).Vì a và b lớn bao nhiêu cũng được nên a^2 + b^2 + c^2 cũng lớn bao nhiêu cũng được ---> không có GTLN
B- Tìm MIN (a^2 + b^2 + c^2) (làm luôn phần này vì có thể bạn chép sai đề)
a) Cách 1 : Theo BĐT Cauchy, ta có
...a^2 + b^2 >= 2ab
...b^2 + c^2 >= 2bc
...c^2 + a^2 >= 2ac
...---> 2(a^2 + b^2 + c^2) >= 2(ab + bc + ca) = 2
...---> a^2 + b^2 + c^2 >= 1 (dấu bằng xảy ra khi a^2 = b^2 = c^2 = 1 và a = b = c <=> a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (-căn 3)/3 )
Vậy MIN (a^2 + b^2 + c^2) = 1 khi a = b = c = (căn 3)/3 hoặc a = b = c = (- căn 3)/3
đăng bài khó z lm cả 10 phút
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\)\(ab+bc+ca\le2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2ab+2bc+2ca\le4\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\le6\)
\(\Leftrightarrow\)\(-\sqrt{6}\le a+b+c\le\sqrt{6}\)
hếy bít làm :vvv