PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 8 2021
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{2c\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a\left(a+c\right)}}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2a}{2b+a+b}+\dfrac{2b}{2c+b+c}+\dfrac{2c}{2a+a+c}\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)=2\left(\dfrac{a^2}{a^2+3ab}+\dfrac{b^2}{b^2+3bc}+\dfrac{c^2}{c^2+3ca}\right)\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (đpcm)
8 tháng 8 2021
\(\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\dfrac{\sqrt{2}.a}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{\sqrt{2}.a}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
làm tương tự với \(\dfrac{b}{\sqrt{bc+c^2}};\dfrac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\)
\(=>P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)+\dfrac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)
\(=2\sqrt{2}\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}\right]=\dfrac{2\sqrt{2}.3}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
UK
18 tháng 8 2017
1) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
UK
18 tháng 8 2017
2) \(\left(\sqrt{2a}-\sqrt{2b}\right)^2\ge0\)
\(2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\)
\(4a+4b\ge2a+2b+4\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2021
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\)
Cộng vế:
\(3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\) đpcm
11 tháng 10 2018
Ta có \(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow c^2\ge ab\Leftrightarrow c^2-ab\ge0\Leftrightarrow c\left(c^2-ab\right)\ge0\Leftrightarrow c^3-abc\ge0\Leftrightarrow\left(c^3-abc\right)\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow ac^3-a^2bc-bc^3+ab^2c\ge0\Leftrightarrow ab^2c+ac^3\ge a^2bc+bc^3\Leftrightarrow ac\left(b^2+c^2\right)\ge bc\left(a^2+c^2\right)\Leftrightarrow\dfrac{ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow1+\dfrac{2ac}{a^2+c^2}\ge1+\dfrac{2bc}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ac+c^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{b^2+2bc+c^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+c\right)^2}{a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}\left(đpcm\right)\)
HN
11 tháng 10 2018
Cần chứng minh
(a + c)²(b² + c²) ≥ (b + c)²(a² + c²)
<=> 2c(a - b)(c² - ab) ≥ 0
Cái này đúng.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2021
Từ bài toán này (mà bạn đã hỏi cách đây vài bữa):
cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\) - Hoc24
Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)
Do đó: \(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\)
Lại có: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=3\)
Đặt \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=x\ge3\Rightarrow VT\ge x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{8x}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{9x}}+\dfrac{8}{9}.3=\dfrac{10}{3}\) (đpcm)
27 tháng 7 2018
Ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
\(\Leftrightarrow(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}=1-\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}=\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}\)
Lại có:
\(ab\left(a+b\right)^2=\left[\sqrt{ab}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2\)
Ta thấy:
\(\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\right]=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right]=-\left(a+b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\le\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}]^2\le\dfrac{1}{64}\)
hay \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (đpcm)
7 tháng 8 2017
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}\)
\(=2+2+2=6\)
Dấu " = " khi x = y = z = 1
Vậy...
T
7 tháng 8 2017
3. Với x,y,z>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}=2+2+2=6\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
1. Với a=b=c=0, ta thấy BĐT trên đúng
Với a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương
\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^3}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\) (1)
\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^3.b^3.c^3}=3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\) (2)
\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^3.c^3.a^3}=3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:
\(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a>\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\) (vì a,b,c>0)
Do đó BĐT trên đúng \(\forall a,b,c\ge0\)
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b\)