K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
Lời giải:
Từ \(4(a+b+c)=3abc\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3}.\frac{1}{b^3}.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}.\frac{1}{ab}\)
\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{bc}\)
\(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{ac}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:
\(2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\geq \frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-\frac{3}{8}=\frac{3}{2}.\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq \frac{3}{8}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2020
Sử dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) với \(xy\ge1\)
\(2VT\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^2c^2}+\frac{2}{1+c^2a^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^2a^2}\)
\(\Rightarrow2VT\ge\frac{1}{1+a^2b^2}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+b^2c^2}+\frac{1}{1+c^4}\frac{1}{1+c^2a^2}+\frac{1}{1+a^4}\)
\(\Rightarrow2VT\ge\frac{2}{1+ab^3}+\frac{2}{1+bc^3}+\frac{2}{1+ca^3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
LV
15 tháng 6 2017
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
TN
15 tháng 6 2017
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
NH
3
19 tháng 2 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(Gt\Rightarrow a+b+c=1\Rightarrow3\sqrt[3]{abc}\ge1\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow abc\ge\frac{1}{27}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\b^4+c^4\ge2b^2c^2\\c^4+a^4\ge2c^2a^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế rồi thu gọn ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\left(1\right)\)
Sử dụng AM-GM lần nữa:
\(\left\{\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2\sqrt{a^2c^2}=2ab^2c\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\\c^2a^2+a^2b^2\ge2a^2bc\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{27}\)\(\left(\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\abc\ge\frac{1}{27}\end{matrix}\right.\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có được ĐPCM
20 tháng 2 2017
Áp dụng bđt a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca ta co:
3(a2 + b2 + c2) \(\ge\) a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 = 1
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2}{3}=\frac{1}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 7 2020
a/ \(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b/ \(\frac{a}{a+b^2}=\frac{a}{a\left(a+b+c\right)+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}\le\frac{a}{2ab+a\left(b+c\right)}=\frac{1}{b+b+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b^2}=\frac{1}{b+b+b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+c^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\) ; \(\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
N
1
22 tháng 1 2018
Có : (a-b)^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2 >= 0
<=> a^2-2ab+b^2+4ab >= 4ab
<=. (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b > 0 thì chia cả hai vế cho ab.(a+b) được :
a+b/ab >= 4/a+b
<=> 1/a + 1/b >= 4/a+b
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b>0
Tk mk nha
N
0
Ta có: \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
bạn quỳnh làm như nào mình không hiểu , bạn chỉ cho mình dòng thứ 2 đc không ?
Áp dụng liên tiếp BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)ta có :
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=\frac{1}{2}\)
nếu dương thì dùng cô si 4 số để hạ bậc cũng được