NG
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
1
31 tháng 5 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
BV
1
4 tháng 4 2018
a)Áp dụng bđt AM-GM cho 6 số không âm a+b,b+c,c+a ta được
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
TT\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
Nhân vế theo vế ta được:\(2\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
LT
0
A
2 tháng 3 2020
\(\left(8x-4x^2-1\right)\left(x^2+2x+1\right)=4\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow8x^3+16x^2+8x-4x^4-8x^3-4x^2-x^2-2x-1=4x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow11x^2+6x-4x^4-1=4x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow11x^2+6x-4x^2-1-4x^2-4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow7x^2+2x-4x^4-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-4x^3-4x^2+3x+5\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-4x^2-8x-5\right)\left(x-1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
4 tháng 9 2017
ta áp dụng cô-si la ra
a^2+b^2+c^2 ≥ ab+ac+bc
̣̣(a - b)^2 ≥ 0 => a^2 + b^2 ≥ 2ab (1)
(b - c)^2 ≥ 0 => b^2 + c^2 ≥ 2bc (2)
(a - c)^2 ≥ 0 => a^2 + c^2 ≥ 2ac (3)
cộng (1) (2) (3) theo vế:
2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab+ac+bc)
=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab+ac+bc
dấu = khi : a = b = c
4 tháng 4 2015
Câu a)
Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b
Nên a2 + b2 \(\ge\) (1 - b)2 + b2 = 2b2 - 2b + 1 = 2(b2 - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)2 + 1 \(\ge\) 1
Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
(x + y)2 = (1.x + 1.y)2 \(\le\) (12 + 12)(x2 + y2) = 2.1 = 2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
4 tháng 4 2015
câu1 : cần sửa lại là A2 + B2 \(\ge\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh được : (A+B)2 \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)
<=> A2 + B2 + 2A.B \(\le\) 2. (A2 + B2)
<=> 0 \(\le\) A2 + B2 - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)2 luôn đúng => (*) đúng
b) Áp sung câu a => (x+y)2 \(\le\)2.(x2 + y2) = 2 => đpcm
13 tháng 5 2021
Bài này `a=b=2=>ab=a+b` nhé.=>Phải là `ab>=a+b`
`ab>=a+b`
`<=>2ab>=2a+2b`
`<=>ab-2a+ab-2b>=0`
`<=>a(b-2)+b(a-2)>=0`
Mà `a>=2,b>=2`
`=>đpcm`
HV
4
21 tháng 2 2020
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
tại a=b=1/2
21 tháng 2 2020
thêm ít cách
Cách 1:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)
\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 2:
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)
\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)
\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)
\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)
\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1)
ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)
Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được:
\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cách 3:Làm tắt thui ạ
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)
\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)
giống cách 2 rồi làm nốt