![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 2, Do 0<x,y,z<=1 nên ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+1\ge x+y\\yz+1\ge y+z\\xz+1\ge x+z\end{cases}}}\)
Thay vào VT ta có:
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)(1)
Do x,y,z <= 1 nên x+y+z <=3 nên \(\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{3}{3}=1\)(2)
Từ (1),(2) -> dpcm
1/ Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)
Khi đó \(3=a+b+c\le3a\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Ta có:
\(LHS=a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)
\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)
\(=9a^2-27a+27=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị.
P/s: Is that true?
cho a,b,c > 0 , tm a +b +c = 1 . CM : \(a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3 )+ c^4/(c^3 + a^3) >= 1/2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Lê Phước Thịnh, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thanh Hiền, Quân Tạ Minh, @tth_new
Help meeee! thanks nhiều ạ
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên ta cần CM \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge a^3+b^3+c^3\)
Theo đề bài ta có
\(a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)=> \(a^3\le3a^2-2a\)
Tương tự với b,c => \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\)=> \(ab\ge2\left(a+b\right)-4\)
Tương tự => \(ab+bc+ac\ge4\left(a+b+c\right)-12\)
Khi đó BĐT <=>
\(a^2+b^2+c^2+4\left(a+b+c\right)-12\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
<=> \(3\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-6\)
<=>\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(b-1\right)\left(b-2\right)+\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)(luôn đúng với giả thiết)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(2;2;2\right),\left(2;2;1\right),....\)và các hoán vị
Ta có \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Nên \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\ge a^3+b^3+c^3\)
Ta có \(a\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow a^3\le3a^2-2a\)
Tương ta ta có: \(b^3\le3b^2-2b;c^3\le3c^2-2c\)
Cộng từng vế của các bđt trên: \(a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Đặt \(\)\(K=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)-2\left(a+b+c\right)\)
Ta lại có
\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le3a-2\)
Tương tự \(b^2\le3b-2;c^2\le3c-2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\left(a+b+c\right)-6\)(1)
\(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Leftrightarrow ab\ge2a+2b-4\)
Tương tự \(bc\ge2b+2c-4;ca\ge2c+2a-4\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge4\left(a+b+c\right)-12\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(K\le6\left(a+b+c\right)-12-2\left(a+b+c\right)\)
\(-\left[4\left(a+b+c\right)-12\right]=0\)
\(K\le0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(a+b+c\right)\)
\(\le a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
hay \(\text{Σ}_{cyc}a^2+\text{Σ}_{cyc}ab+3\text{Σ}_{cyc}\left(a+b\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)\in\left(2;2;1\right)\)và các hoán vị hoặc \(a=b=c=2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ca) ; thay giả thiết a+b+c = 3 ta có:
a³+b³+c³ = 3(a²+b²+c² -ab-bc-ca + abc) (1)
* từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 => (2-a)(2-b)(2-c) ≥ 0
⇔ 8 -4a-4b-4c + 2ab+2bc+2ca -abc ≥ 0 (lại thay a+b+c = 3)
⇒ abc ≤ 2ab+2bc+2ca - 4 (2)
Dấu '=' khi có 1 số = 2
thay (1) vào (2) ta có:
a³+b³+c³ ≤ 3(a²+b²+c² +ab+bc+ca - 4) = 3[(a+b+c)² - ab-bc-ca -4] = 3(5-ab-bc-ca) (3)
Mặt khác cũng từ (2) ta có: 2(ab+bc+ca) ≥ abc+4 ≥ 4
⇒ -ab-bc-ca ≤ -2 (dấu "=" khi có 1 số = 0) thay vào (3) ta có
a³+b³+c³ ≤ 3(5-ab-bc-ca) ≤ 9 (đpcm)
Mới lớp 8 nên không hiểu biết rộng về lớp 9 sai bỏ qua