Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CMR : a)n(n^2+12)+(2_ngày)(n^2_3n+1)(n^2_3n+1)+8 chia hết cho 5 với mọi n thuộc Z
b)n^5_n chia hết cho 30
Ta có: 30=5.6, mà (5;6)=1 nên ta chứng minh n5-n chia hết cho 5 và 6
+) n5-n=n(n4-1)=n(n2-1)(n2+1)=n(n-1)(n+1)(n2-4+5)=n(n-1)(n+1)(n2-4)+5n(n-1)(n+1)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n-1)(n+1) chia hết cho 5
=> n5-n chia hết cho 5 (1)
+) n5-n=n(n4-1)=n(n2-1)(n2+1)=n(n-1)(n+1)(n2+1)
=(n-1)n(n+1)(n2+1)
Vì (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
=> (n-1)n(n+1)(n2+1) chai hết cho 6
=> n5-n chia hết cho 6 (2)
Từ (1) và (2) => n5-n chia hết cho 30
Vậy n5-n chia hết cho 30 (đpcm)
Có nhầm đề k bạn? Phải là a^5b - ab^5 chứ nhỉ? Bạn xem lại đề giúp mình
Đặt A=a5b-ab5 = ab(a4-b4) = ab(a+b)(a-b)(a2+b2) (Với a, b ∈ N)
Dễ chứng minh A⋮2. (*)
-Nếu a hoặc b chia hết cho 3 thì A⋮3 (1)
-Nếu cả a và b đều không chia hết cho 3 thì có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈ N )
+Nếu \(a\equiv b\) (mod 3) thì (a-b)⋮3 (2)
+Nếu a có dạng 3k1+1, b có dạng 3k2+2 (hoặc ngược lại) thì (a+b)⋮3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A luôn chia hết cho 3 ∀a, b ∈ N. (**)
-Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì A⋮5 (4)
-Nếu cả a và b đều không chia hết cho 5 thì chúng có dạng sau: 5m+1; 5m+2; 5m+3; 5m+4 (m ∈ N)
+Nếu \(a\equiv b\) (mod 5) thì (a-b)⋮5 (5)
+Nếu a có dạng 5m1+1, b có dạng 5m2+4 (hoặc ngược lại); hoặc a có dạng 5m1+2, b có dạng 5m2+3(hoặc ngược lại) thì (a+b)⋮5 (6)
+Nếu a và b thuộc các trường hợp còn lại thì (a2+b2)⋮5 (7)
(5m1+1)2+(5m2+2)2 = (25m12+25m22+10m1+20m2+5)⋮5
(5m1+1)2+(5m2+3)2 = (25m12+25m22+10m1+30m2+10)⋮5
(5m1+2)2+(5m2+4)2 = (25m12+25m22+20m1+40m2+20)⋮5
(5m1+3)2+(5m2+4)2 = (25m12+25m22+30m1+40m2+25)⋮5
Từ (4), (5), (6) và (7) suy ra A luôn chia hết cho 5 ∀a, b ∈ N (***)
Theo (*), (**) và (***), vì 2,3,5 là các số nguyên tố cùng nhau nên A⋮(2.3.5) => A⋮30 (đpcm)
(Mình quên mất cách làm ngắn hơn rùi, nhớ mỗi cách làm thủ công thôi :D )
Sửa:
Cho các số nguyên dương a ; b ; c đôi một khác nhau thỏa mãn a2 + b2 = c2 .CMR: ab chia hết cho a + b + c
\(gt\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=c^2+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-c^2=2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)=2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b+c}=\frac{a+b-c}{2}\)
Neu can chung minh \(ab⋮a+b+c\) thi can cm \(a+b-c\) chan ma ta ci a+b+c va a+b-c cung tinh chan le va \(a^2;b^2;c^2\equiv0;1;2\left(mod4\right)\)
*)c du 0 => a;b du 0 => a+b+c chia het 4 hay a+b+c chan hay a+b-c chan -> QED
*)c du 1 => a du 0;b du 1 =>a+b+c chan hay a+b-c chan ->QED
*)c du 2: +) a;b du 1 => a+b+c du 4 hay a+b+c du 0 => a+b+c chan hay a+b-c chan ->QED
+)a du 0;b du 2 =>a+b+c chia het => a+b+c chan =>a+b-c chan ->QED
Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)
\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7
\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)
Cám ơn thầy ạ !
Đây là 1 loạt những bài toán về chuyên đề đồng dư thức , thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em, em cám ơn ạ
Ta có:\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)
Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5. Mà 3 số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3.5=30 (*)
Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3. Mà (2;3)=1 nên 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 2.3.5=30 (**)
Từ (*)và(**) => \(a^5-5\) chia hết cho 30(đpcm)